《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 1 已知抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$。
(1)画出函数的图象。
(2)写出抛物线的开口方向、顶点$M$的坐标、对称轴。
(3)写出与$y轴的交点C的坐标及与x轴的交点A$,$B$的坐标。
(4)当$x$取何值时：①函数值$y随x$的增大而增大？②函数值$y随x$的增大而减小？
(5)观察函数图象,当$x$取何值时：①$y ＞ 0$？②$y = 0$？③$y ＜ 0$？
(6)求$\triangle ABM$的面积。

答案： 答题卡：
(1) 图象：列表、描点、连线（此部分无法直接展示图象，实际作答时应画出图象，以顶点$M(-1, 2)$为最高点，开口向下，对称轴为$x = -1$，与$y$轴交点为$(0, \frac{3}{2})$，与$x$轴交点为$(-3, 0)$和$(1, 0)$）。
(2) 抛物线的开口方向：向下；
顶点$M$的坐标：$(-1, 2)$；
对称轴：直线$x = -1$。
(3) 与$y$轴的交点$C$的坐标：$(0, \frac{3}{2})$（或$(0,1.5)$）；
与$x$轴的交点$A$，$B$的坐标：$A(-3, 0)$，$B(1, 0)$。
(4) ①当$x \lt -1$时，函数值$y$随$x$的增大而增大；
②当$x \gt -1$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。
(5) ①当$-3 \lt x \lt 1$时，$y ＞ 0$；
②当$x = -3$或$x = 1$时，$y = 0$；
③当$x \lt -3$或$x \gt 1$时，$y ＜ 0$。
(6) $\triangle ABM$的面积：
$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$（其中$AB=2-(-3)=4-0=4$，高为顶点$M$到$x$轴的距离，即2）。

例 2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一个水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为$1m$处达到最高,高度为$3m$,水柱落地处离池中心$3m$,水管应该多长？

答案： 解：以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系。
抛物线顶点坐标为(1, 3)，设其解析式为$y = a(x - 1)^2 + 3$。
∵水柱落地处坐标为(3, 0)，代入解析式得：
$0 = a(3 - 1)^2 + 3$，即$4a + 3 = 0$，解得$a = -\frac{3}{4}$。
∴抛物线解析式为$y = -\frac{3}{4}(x - 1)^2 + 3$。
当$x = 0$时，$y = -\frac{3}{4}(0 - 1)^2 + 3 = -\frac{3}{4} + 3 = \frac{9}{4}$。
答：水管长度为$\frac{9}{4}m$（或2.25m）。

1. 将抛物线$y = x^2$向上平移3个单位长度,再向右平移$5$个单位长度,所得到的抛物线的解析式为(D)
A.$y = (x + 3)^2 + 5$
B.$y = (x - 3)^2 + 5$
C.$y = (x + 5)^2 + 3$
D.$y = (x - 5)^2 + 3$

答案： D

2. 抛物线$y = (x - 2)^2 + h - 4的顶点在直线y = -4x - 1$上,则$h = $-5。

答案： $h$ 的值为 $\boxed{-5}$（题目要求填空，直接填数值即可，这里按格式要求用框框住答案形式，若单纯填空则写 -5）。

3. 已知二次函数$y = 2(x - 3)^2 + 1$。有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线$x = -3$；③其图象的顶点坐标为$(3, -1)$；④当$x ＜ 3$时,$y随x$的增大而减小。其中说法正确的有(A)
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： A

4. 已知二次函数图象顶点坐标为$(-1, -6)$,并且图象经过点$(0, 5)$,求这个二次函数的解析式。

答案： 设二次函数的解析式为$y=a(x-h)^2 + k$，已知顶点坐标为$(-1, -6)$，则$h=-1$，$k=-6$，所以解析式为$y=a(x + 1)^2 - 6$。
因为图象经过点$(0, 5)$，将$x=0$，$y=5$代入解析式得：$5 = a(0 + 1)^2 - 6$，即$5 = a - 6$，解得$a = 11$。
所以二次函数的解析式为$y = 11(x + 1)^2 - 6$。