《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ AC $ 与 $ \odot O $ 相切,$ CO $ 交 $ \odot O $ 于点 $ D $. 若 $ \angle CAD = 30° $,则 $ \angle BOD = $120°

答案： 120°

如图,在 $ Rt \triangle AOB $ 中,$ \angle ABO = 90° $,$ \angle OAB = 30° $,以点 $ O $ 为圆心,$ OB $ 长为半径的圆交 $ BO $ 的延长线于点 $ C $,过点 $ C $ 作 $ OA $ 的平行线,交 $ \odot O $ 于点 $ D $,连接 $ AD $.
(1) 求证：$ AD $ 为 $ \odot O $ 的切线.
(2) 若 $ OB = 2 $,求 $ \overgroup{CD} $ 的长.

答案：
(1)略;
(2)$\overset{\frown}{CD}$的长度为$\frac{2\pi}{3}$.

1. 什么叫正多边形?

答案： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2. 什么叫做正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的中心角、正多边形的边心距?

答案： 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

3. 正n边形的一个角的度数是多少? 中心角呢? 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系?

答案： 正$n$边形每个内角的度数为： $\frac{(n - 2) × 180{°}}{n}$（或$180{°}-\frac{360{°}}{n}$）；
正$n$边形的中心角度数为：$\frac{360{°}}{n}$；
正多边形的中心角等于其外角度数，即：
正多边形的中心角与外角的大小关系为：相等 。

4. 怎样画正三角形、正六边形、正十二边形? 画图说明.

答案： 正三角形的画法：
1. 作⊙O；
2. 用量角器画圆心角∠AOB=120°，∠BOC=120°，则A、B、C为⊙O的三等分点；
3. 连接AB、BC、CA，△ABC即为正三角形。
正六边形的画法：
1. 作⊙O；
2. 在⊙O上任取一点A，以OA为半径画弧交⊙O于B；
3. 以B为圆心，OA为半径画弧交⊙O于C；依次得D、E、F；
4. 连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，六边形ABCDEF即为正六边形。
正十二边形的画法：
1. 作⊙O；
2. 用正六边形作法得六等分点A、B、C、D、E、F；
3. 分别作弧AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点G、H、I、J、K、L；
4. 依次连接A、G、B、H、C、I、D、J、E、K、F、L、A，即得正十二边形。

5. 怎样画正四边形、正八边形? 画图说明.

答案： 画正四边形：
步骤：
使用圆规，画一个圆，并标记圆心为$O$。
使用直尺，通过圆心$O$画两条互相垂直的直径，它们将圆分成$4$个相等的部分。
将直径的四个端点依次连接，得到一个正四边形（正方形）。
画正八边形：
步骤：
使用圆规，画一个圆，并标记圆心为$O$。
使用直尺和圆规，将圆分成$8$个相等的部分（每部分$45$度），这可以通过多次使用圆规和直尺二等分圆来实现，或者直接使用量角器来标记$8$个等分点。
连接相邻的等分点，得到一个正八边形。

6. 弧长公式 $ l = $$\frac{n\pi R}{180}$.

答案： $\frac{n\pi R}{180}$

7. 扇形面积公式 $ S_{扇形} = $$\frac{n\pi R^{2}}{360}$$ = $$\frac{1}{2}lR$.

答案： $S_{扇形} = \frac{n\pi R^{2}}{360}$ = $\frac{1}{2}lR$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形所在圆的半径，$l$为扇形的弧长）。

8. 圆锥的侧面积公式 $ S_{圆锥侧} = $πrl.

答案： πrl

例1 小明要用圆心角为 $ 120° $,半径是27 cm的扇形纸片(如图)围成一个圆锥形纸帽,这个纸帽的底面直径为多少? (不计接缝部分,材料不剩余)

答案： 设该圆锥底面圆直径为 $d$。
根据题意，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即：
$\frac{120}{360} × 2\pi × 27 = \pi d$，
化简得：
$\frac{1}{3} × 54\pi = \pi d$，
$d = 18$。
故这个纸帽的底面直径为$18cm$。

例2 如图,分别以n边形的顶点为圆心,以单位1为半径画圆,则图中阴影部分的面积之和为多少个平方单位?

答案： 阴影部分的面积之和为 $\pi$ 平方单位。