《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＜ 0) $ 的图象上有两点 $ A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) $, 且 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $, 则 $ y_1 - y_2 $ 的值为(A)
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数

答案： A

2. 如图, $ A, B $ 两点在反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象上, 过 $ A, B $ 分别向坐标轴作垂线段.

已知 $ S_{阴影} = 1.7 $, 则 $ S_1 + S_2 $ 等于(C)
A.$ 4 $
B.$ 4.2 $
C.$ 4.6 $
D.$ 5 $

答案： C

3. 如图, 点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 图象的一支上, 点 $ B $ 在反比例函数 $ y = - \frac{k}{2x} $ 图象的一支上, 点 $ C, D $ 在 $ x $ 轴上. 若四边形 $ ABCD $ 是面积为 $ 9 $ 的正方形, 则实数 $ k $ 的值为-6.

答案： -6

1. 比较正比例函数和反比例函数的性质.
|项目|正比例函数|反比例函数|
|----|----|----|
|解析式|$y=kx$（$k$为常数，$k\neq0$）|$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$）|
|图象|过原点的一条直线|双曲线|
|位置|当$k＞0$时，经过第一、三象限；当$k＜0$时，经过第二、四象限|当$k＞0$时，位于第一、三象限；当$k＜0$时，位于第二、四象限|
|增减性|当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小|当$k＞0$时，在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大|

答案： |项目|正比例函数|反比例函数|
|----|----|----|
|解析式|$y=kx$（$k$为常数，$k\neq0$）|$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$）|
|图象|过原点的一条直线|双曲线|
|位置|当$k＞0$时，经过第一、三象限；当$k＜0$时，经过第二、四象限|当$k＞0$时，位于第一、三象限；当$k＜0$时，位于第二、四象限|
|增减性|当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小|当$k＞0$时，在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大|

2. 如图,在函数 $ y = \frac{k}{x} $ 图象上任取一点 $ P $,过点 $ P $ 分别作 $ x $ 轴,$ y $ 轴的垂线,垂足为点 $ M $,$ N $. 用 $ k $ 表示矩形 $ PMON $ 的面积 $ S $,则 $ S = $|k|.

由此可知,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 中 $ |k| $ 的几何意义是什么? 若在图象上任取一点 $ Q $,过 $ Q $ 点向一个坐标轴(比如 $ y $ 轴)作垂线,垂足为点 $ H $,连接 $ OQ $,那么 $ S_{Rt\triangle QHO} = $$\frac{1}{2}|k|$.

答案： 设点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$，因为点 $P$ 在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，所以 $y = \frac{k}{x}$，即 $xy = k$。
矩形 $PMON$ 的面积 $S$ 为 $PM × PN$，因为 $PM = |y|$，$PN = |x|$，所以 $S = |x| × |y| = |xy| = |k|$。
由此可知，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 中 $|k|$ 的几何意义是：反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 $|k|$。
若在图象上任取一点 $Q$，设 $Q$ 的坐标为 $(x_1, y_1)$，因为 $y_1 = \frac{k}{x_1}$，即 $x_1y_1 = k$。
过 $Q$ 点向 $y$ 轴作垂线，垂足为点 $H$，则 $QH = |x_1|$。
$S_{Rt\triangle QHO} = \frac{1}{2} × OH × QH$，因为 $OH = |y_1|$，$QH = |x_1|$，所以 $S_{Rt\triangle QHO} = \frac{1}{2} × |x_1| × |y_1| = \frac{1}{2} |k|$。
故答案为：$|k|$；$\frac{1}{2}|k|$。

已知反比例函数的图象经过点 $ A(2,6) $.
(1) 这个函数的图象分布在哪些象限? $ y $ 随 $ x $ 的增大如何变化?
(2) 点 $ B(3,4) $,$ C\left( - 2 \frac{1}{2}, - 4 \frac{4}{5} \right) $,$ D(2,5) $ 是否在这个函数图象上?

答案：
(1)设反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$，
∵图象经过点$A(2,6)$，
∴$6 = \frac{k}{2}$，解得$k = 12$，
∴函数解析式为$y = \frac{12}{x}$，
∵$k = 12 ＞ 0$，
∴函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
(2)对于点$B(3,4)$，$3×4 = 12 = k$，
∴点$B$在函数图象上；
对于点$C\left(-2\frac{1}{2}, -4\frac{4}{5}\right)$，即$C\left(-\frac{5}{2}, -\frac{24}{5}\right)$，$\left(-\frac{5}{2}\right)×\left(-\frac{24}{5}\right) = 12 = k$，
∴点$C$在函数图象上；
对于点$D(2,5)$，$2×5 = 10 ≠ 12$，
∴点$D$不在函数图象上。
结论：点$B$、$C$在函数图象上，点$D$不在。