《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图是射击靶的示意图,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？

答案： 设靶盘的圆心为点$O$，从内到外各圆的半径分别为$r_1,r_2,r_3,r_4,r_5$（$r_1\lt r_2\lt r_3\lt r_4\lt r_5$）。
设击中的点为$P$，计算点$P$到圆心$O$的距离$d = OP$。
若$d\leq r_1$，成绩为$10$环；
若$r_1\lt d\leq r_2$，成绩为$9$环；
若$r_2\lt d\leq r_3$，成绩为$8$环；
若$r_3\lt d\leq r_4$，成绩为$7$环；
若$r_4\lt d\leq r_5$，成绩为$6$环；
若$d\gt r_5$，成绩为脱靶，得$0$环。

2. 点和圆的三种位置所对应的$r和d$的数量关系分别是怎样的？请你填写下表.

答案： |语言描述|图形表示|$r$和$d$的数量关系|
|----|----|----|
|点在圆内| $O$为圆心，$P$在圆内，$d=OP$|$d＜r$|
|点在圆上|$O$为圆心，$P$在圆上，$d=OP$|$d = r$|
|点在圆外|$O$为圆心，$P$在圆外，$d=OP$|$d＞r$|

1. 如图是一个圆形靶的示意图,$O$为圆心,小明向上投了$5$枚飞镖,它们分别落到了$A$,$B$,$C$,$D$,$E$点.

思考：(1)点$A$,$B$,$C$,$D$,$E$到圆心的距离分别与圆的半径有什么关系？
(2)如果再投一镖,落点为$P$,你能根据$P到圆心的距离d$与半径之间的关系,确定出点$P$的位置吗？
2. 点与圆的位置关系有三种：
当点在圆外时,$d ＞ r$；反过来,当$d ＞ r$时,点在圆外.
当点在圆上时,d=r；反过来,当d=r时,点在圆上.
当点在圆内时,d＜r；反过来,当d＜r时,点在圆内.

答案： 1.
(1)点A、C到圆心距离小于半径，点B到圆心距离等于半径，点D、E到圆心距离大于半径；
(2)d＞r时点P在圆外，d=r时点P在圆上，d＜r时点P在圆内。2. d=r；d=r；d＜r；d＜r

例 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 2$,$BC = 4$,$CM是AB$边上的中线. 以点$C$为圆心,以$\sqrt{5}$为半径作圆. 试确定$A$,$B$,$M三点分别与\odot C$有怎样的位置关系,并说明理由.

变式 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 2$,$BC = 4$,$CM是AB$边上的中线. 以$C$为圆心画圆,点$B$在圆外,点$M$在圆内.
(1)求半径的取值范围；
(2)试确定点$A与\odot C$有怎样的位置关系,并说明理由.

【归纳总结】通过点与圆心的距离和圆的半径比较,确定点和圆的位置关系运用了从“数”到“形”的思想.

答案： 例：
$A$在$\odot C$上内：
$CA=2＜ \sqrt{5}$，所以$A$在圆内错误（应为圆内是点距离圆心小于半径，而题目要求判断位置），实际$CA=2＜\sqrt{5}$不成立（$2＜\sqrt{5}$约$2＜2.236$成立，但判断为在圆内），
准确：$CA=2＜\sqrt{5}$，所以点$A$在$\odot C$内错误，实际：
$A$与圆心$C$距离$CA=2$，半径$\sqrt{5}\approx2.236$，$2＜\sqrt{5}$，点$A$在圆内。
$B$与圆心$C$距离$BC=4$，$4＞\sqrt{5}$，点$B$在圆外。
$M$与圆心$C$距离：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}÷\sqrt{5}=2$（单位），
$M$为$AB$中点，
$CM=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}÷1=\sqrt{5}$（直角三角形斜边中线为斜边一半），
$CM=\sqrt{5}$，等于半径，点$M$在圆上。
答：点$A$在$\odot C$内，点$B$在$\odot C$外，点$M$在$\odot C$上。
变式：
（1）点$B$在圆外，点$M$在圆内，
$BC=4$，$CM=\sqrt{5}$，
半径$r$满足：$\sqrt{5}＜r＜4$。
（2）点$A$与$\odot C$位置关系：
$CA=2$，
$\sqrt{5}\approx2.236$，
$2＜\sqrt{5}$，
点$A$在$\odot C$内。