《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

3. 如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点,∠AOE = 60°,则∠COE 的度数是(C)

A.40°
B.60°
C.80°
D.120°

答案： C

4. 如图,在⊙O 中,如果$\overset{\frown}{AB}$ = 2$\overset{\frown}{AC}$,那么(C)

A.AB = AC
B.AB = 2AC
C.AB ＜ 2AC
D.AB ＞ 2AC

答案： C

1. 如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上的两点,且 BD // OC. 求证：$\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{CD}$.

答案： 证明：
∵ BD // OC，
∴ ∠AOC = ∠OBD（两直线平行，同位角相等），
∠COD = ∠ODB（两直线平行，内错角相等）。
∵ OB = OD（同圆半径相等），
∴ ∠OBD = ∠ODB（等边对等角）。
∴ ∠AOC = ∠COD。
∴ $\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。

2. 如图,BC 是⊙O 的直径,A 是⊙O 上一点,AD ⊥ BC,垂足为 D,BE 交 AD 于点 F,且$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{AE}$. 求证：AF = BF.

答案： 证明：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ABC+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余）.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°（直角三角形两锐角互余）.
∵∠ABD=∠ABC，
∴∠BAD=∠ACB（等角的余角相等）.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴∠ACB=∠ABE（等弧所对的圆周角相等）.
∴∠BAD=∠ABE（等量代换），即∠BAF=∠ABF.
∴AF=BF（等角对等边）.