《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 1 已知函数 $y = (m + 3)x^{m^2 + 4m - 3} + 5$ 是关于 $x$ 的二次函数。
(1) 求 $m$ 的值。
(2) 当 $m$ 为何值时,该函数图象的开口向上？
(3) 当 $m$ 为何值时,该函数有最大值？

答案：
(1)
因为函数$y = (m + 3)x^{m^2 + 4m - 3} + 5$是关于$x$的二次函数，所以$x$的最高次数为$2$且二次项系数不为$0$。
可得方程组$\begin{cases}m^2 + 4m - 3 = 2\\m + 3\neq 0\end{cases}$
由$m^2 + 4m - 3 = 2$，移项得$m^2 + 4m - 5 = 0$，因式分解为$(m + 5)(m - 1)=0$，解得$m = 1$或$m = - 5$。
又因为$m + 3\neq 0$，即$m\neq - 3$，所以$m$的值为$1$或$-5$。
(2)
因为函数图象开口向上，所以二次项系数$m + 3＞0$，即$m＞-3$。
结合
(1)中$m = 1$或$m = - 5$，所以当$m = 1$时，该函数图象的开口向上。
(3)
因为函数有最大值，所以函数图象开口向下，二次项系数$m + 3＜0$，即$m＜-3$。
结合
(1)中$m = 1$或$m = - 5$，所以当$m = - 5$时，该函数有最大值。
综上，答案依次为：
(1)$m = 1$或$m = - 5$；
(2)$m = 1$；
(3)$m = - 5$。

例 2 抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 上部分点的横坐标 $x$、纵坐标 $y$ 的对应值如下表：

从上表可知,下列说法中正确的是 ①③④。(填序号)
① 抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $(3,0)$；② 函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的最大值为 $6$；③ 抛物线的对称轴是 $x = \frac{1}{2}$；④ 在对称轴左侧,$y$ 随 $x$ 的增大而增大。

答案： ①③④

例 3 如图,已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A(3,0)$,与 $y$ 轴的交点为 $B(0,3)$,其顶点为 $C$,对称轴为直线 $x = 1$。

(1) 求抛物线的解析式；
(2) 已知点 $M$ 为 $y$ 轴上的一个动点,当 $\triangle ABM$ 为等腰三角形时,求点 $M$ 的坐标。

答案：
(1)
由已知，抛物线对称轴为$x = 1$，可设抛物线解析式为$y = a(x - 1)^{2}+k$。
把$A(3,0)$，$B(0,3)$代入得：
$\begin{cases}a(3 - 1)^{2}+k = 0\\a(0 - 1)^{2}+k = 3\end{cases}$
即$\begin{cases}4a + k = 0\\a + k = 3\end{cases}$
用$4a + k = 0$减去$a + k = 3$得：$3a=-3$，解得$a = - 1$。
把$a = - 1$代入$a + k = 3$得：$-1 + k = 3$，解得$k = 4$。
所以抛物线解析式为$y=-(x - 1)^{2}+4=-x^{2}+2x + 3$。
(2)
设$M(0,m)$，已知$B(0,3)$，$A(3,0)$，则$BM=\vert m - 3\vert$，$AB=\sqrt{3^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}$。
当$BM = BA$时，$\vert m - 3\vert=3\sqrt{2}$，则$m - 3 = 3\sqrt{2}$或$m - 3=-3\sqrt{2}$，解得$m = 3 + 3\sqrt{2}$或$m = 3 - 3\sqrt{2}$，此时$M(0,3 + 3\sqrt{2})$或$M(0,3 - 3\sqrt{2})$。
当$AM = BA$时，$\sqrt{3^{2}+m^{2}}=3\sqrt{2}$，即$9 + m^{2}=18$，$m^{2}=9$，解得$m=\pm3$，当$m = 3$时与$B$点重合舍去，当$m=-3$时，$M(0,-3)$。
当$MB = MA$时，$\vert m - 3\vert=\sqrt{3^{2}+m^{2}}$，两边平方得$m^{2}-6m + 9 = 9 + m^{2}$，解得$m = 0$，此时$M(0,0)$。
综上，点$M$的坐标为$(0,3 + 3\sqrt{2})$或$(0,3 - 3\sqrt{2})$或$(0,-3)$或$(0,0)$。

例 4 如图,抛物线 $y = ax^2 + bx - 1(a \neq 0)$ 经过 $A(-1,0)$,$B(2,0)$ 两点,与 $y$ 轴交于点 $C$。
(1) 求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；
(2) 点 $P$ 在抛物线的对称轴上,当 $\triangle ACP$ 的周长最小时,求出点 $P$ 的坐标；
(3) 若点 $M$ 为抛物线第四象限内一点,连接 $BC$,$CM$,$BM$,求当 $\triangle BCM$ 的面积最大时点 $M$ 的坐标。

答案：
(1) $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 1 $，$ D\left( \frac{1}{2}, -\frac{9}{8} \right) $；
(2) $ P\left( \frac{1}{2}, -\frac{3}{4} \right) $；
(3) $ M(1, -1) $。