《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）.

答案： $y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）

2. 二次函数的定义：
形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、$c$是常数，$a \neq 0$）的函数,叫做二次函数. 其中 $ x $ 是自变量,$ a $ 是二次项系数,$ b $ 是一次项系数,$ c $ 是常数项.

答案： 形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、$c$是常数，$a \neq 0$）的函数，叫做二次函数。其中$x$是自变量，$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。

3. 你能举出几个二次函数的例子吗？

答案： y = x²；y = 2x² + 3x - 1；y = -x² + 5；y = 0.5x² - 2x；y = -3x² + 4

自学教科书第 28 页问题 1 和问题 2,思考并回答下列问题：
1. 函数用来表示某些问题中变量之间的关系,函数①②③有什么共同点？
共同点：函数①②③的形式都是自变量 $x$ 的二次多项式（或可以化为二次多项式），即都可以写成 $y=ax^2+bx+c$（$a \neq 0$）的形式。
2. 二次函数的定义：
(1) 一般形式：$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$.
思考：二次项的系数 $ a $ 为什么不等于 $ 0 $？$ b $,$ c $ 可以为 $ 0 $ 吗？为什么？
二次项的系数 $a$ 不等于 0，是因为如果 $a = 0$，则函数退化为一次函数；$b,c$ 可以为 0，因为当 $b = 0$ 或 $c = 0$ 时，函数仍然是二次函数（例如，当 $b = 0,c \neq 0$ 时，$y=ax^2+c$ 仍为二次函数）。
(2) 自变量的取值范围：$ x $ 取全体实数.
注意：由实际问题抽象出的二次函数,其自变量的取值范围,应使实际问题有意义.
3. 练习：下列函数解析式中,哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数,请指出各个对应项的系数.
(1) $ y = 1 - 3x^{2} $；(2) $ y = 3x^{2} + 2x $；
(3) $ y = x(x - 5) + 2 $；(4) $ y = 3x^{3} + 2x $；
(5) $ y = x + \frac{1}{x} $；(6) $ y = x^{2} - x(1 + x) $.
(1) 是二次函数，二次项系数 $a = -3$，一次项系数 $b = 0$，常数项 $c = 1$。
(2) 是二次函数，二次项系数 $a = 3$，一次项系数 $b = 2$，常数项 $c = 0$。
(3) $y=x^2-5x+2$，是二次函数，二次项系数 $a = 1$，一次项系数 $b = -5$，常数项 $c = 2$。
(4) 不是二次函数，因为 $x$ 的最高次数是 3。
(5) 不是二次函数，因为 $y = x + \frac{1}{x}$ 不是整式。
(6) $y=x^2-x-x^2=-x$，不是二次函数，因为化简后 $x$ 的最高次数是 1。
【归纳总结】判定二次函数需三个条件：①各项都是整式；②$ x $ 的最高次数是 $ 2 $；③二次项系数 $ a \neq 0 $。

答案： 1.
共同点：函数①②③的形式都是自变量 $x$ 的二次多项式（或可以化为二次多项式），即都可以写成 $y=ax^2+bx+c$（$a \neq 0$）的形式。
2.
(1) 一般形式：$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$。
思考：二次项的系数 $a$ 不等于 0，是因为如果 $a = 0$，则函数退化为一次函数；$b,c$ 可以为 0，因为当 $b = 0$ 或 $c = 0$ 时，函数仍然是二次函数（例如，当 $b = 0,c \neq 0$ 时，$y=ax^2+c$ 仍为二次函数）。
(2) 自变量的取值范围：$x$ 取全体实数。
3.
(1) 是二次函数，二次项系数 $a = -3$，一次项系数 $b = 0$，常数项 $c = 1$。
(2) 是二次函数，二次项系数 $a = 3$，一次项系数 $b = 2$，常数项 $c = 0$。
(3) $y=x^2-5x+2$，是二次函数，二次项系数 $a = 1$，一次项系数 $b = -5$，常数项 $c = 2$。
(4) 不是二次函数，因为 $x$ 的最高次数是 3。
(5) 不是二次函数，因为 $y = x + \frac{1}{x}$ 不是整式。
(6) $y=x^2-x-x^2=-x$，不是二次函数，因为化简后 $x$ 的最高次数是 1。

例 1 已知关于 $ x $ 的函数 $ y = (m - 2)x^{2} + mx + 1 $ 是二次函数,求 $ m $ 的值.

答案： 要使函数 $ y = (m - 2)x^{2} + mx + 1 $ 是二次函数，需满足二次项系数不为 0。
二次项系数为 $ m - 2 $，则：
$ m - 2 \neq 0 $
解得 $ m \neq 2 $
结论：$ m $ 的取值范围是 $ m \neq 2 $