《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

5. 自学教科书第 6 页“探究”中的问题,回答：
(1) 对照问题 1 中解方程的过程,你发现方程 $ (x + 3)^{2}= 5 $ 与方程 $ x^{2}= 25 $ 的相同点是什么？不同点是什么？由 $ (x + 3)^{2}= 5 $ 得 $ x + 3= \pm\sqrt{5} $ 的依据是什么？
(2) 由 $ (x + 3)^{2}= 5 $ 得 $ x + 3= \sqrt{5} $ 或 $ x + 3= -\sqrt{5} $ 是你学过的哪一类方程？在这一过程中体现的数学思想方法是什么？原方程的根是什么？
(3) 观察方程 $ x^{2}+6x + 9= 2 $,它的左边是什么形式？把它化成与方程 $ (x + 3)^{2}= 5 $ 相同的形式：______。对其进行降次(开平方),得到______,方程的两根为 $ x_{1}= $______,$ x_{2}= $______。
(1)相同点：都是一元二次方程，且都利用直接开平方法求解。不同点：方程$x^{2}=25$的左边是完全平方式$x^2$，方程$(x + 3)^{2}=5$的左边是$(x + 3)^2$。依据：如果$x^{2}=a(a\geq0)$，那么$x=\pm\sqrt{a}$，对于$(x + 3)^{2}=5$，令$y=x + 3$，则$y^{2}=5$，所以$y=\pm\sqrt{5}$，即$x + 3=\pm\sqrt{5}$。
(2)由$(x + 3)^{2}=5$得$x + 3=\sqrt{5}$或$x + 3=-\sqrt{5}$是一元二次方程转化为两个一元一次方程。体现的数学思想方法：转化思想。原方程的根是$x_{1}=\sqrt{5}-3$，$x_{2}=-\sqrt{5}-3$。
(3)观察方程$x^{2}+6x + 9= 2$，它的左边是完全平方式$(x + 3)^2$。把它化成与方程$(x + 3)^{2}=5$相同的形式：$(x + 3)^{2}=2$。对其进行降次(开平方),得到$x + 3=\pm\sqrt{2}$,方程的两根为$x_{1}=$$\sqrt{2}-3$,$x_{2}=$$-\sqrt{2}-3$。

答案：
(1)
相同点：都是一元二次方程，且都利用直接开平方法求解。
不同点：方程$x^{2}=25$的左边是完全平方式$x^2$，方程$(x + 3)^{2}=5$的左边是$(x + 3)^2$。
依据：如果$x^{2}=a(a\geq0)$，那么$x=\pm\sqrt{a}$，对于$(x + 3)^{2}=5$，令$y=x + 3$，则$y^{2}=5$，所以$y=\pm\sqrt{5}$，即$x + 3=\pm\sqrt{5}$。
(2)
由$(x + 3)^{2}=5$得$x + 3=\sqrt{5}$或$x + 3=-\sqrt{5}$是一元二次方程转化为两个一元一次方程。
体现的数学思想方法：转化思想。
原方程$(x + 3)^{2}=5$，
$x+3=\sqrt{5}$或$x + 3=-\sqrt{5}$，
解得$x_{1}=\sqrt{5}-3$，$x_{2}=-\sqrt{5}-3$。
(3)
方程$x^{2}+6x + 9 = 2$的左边是完全平方式$(x + 3)^2$。
化成与方程$(x + 3)^{2}=5$相同的形式：$(x + 3)^{2}=2$。
对其进行降次（开平方），得到$x + 3=\pm\sqrt{2}$。
方程的两根为$x_{1}=\sqrt{2}-3$，$x_{2}=-\sqrt{2}-3$。
故答案依次为：
(1)相同点：都是一元二次方程且都用直接开平方法求解；不同点：方程$x^{2}=25$左边是$x^2$，方程$(x + 3)^{2}=5$左边是$(x + 3)^2$；依据：若$x^{2}=a(a\geq0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$；
(2)一元二次方程转化为两个一元一次方程；转化思想；$x_{1}=\sqrt{5}-3$，$x_{2}=-\sqrt{5}-3$；
(3)$(x + 3)^{2}=2$；$x + 3=\pm\sqrt{2}$；$\sqrt{2}-3$；$-\sqrt{2}-3$。

6. 以上方程在形式和解法上有什么相同点？可归纳为怎样的步骤？

答案： 形式上的相同点：均为一元二次方程，二次项系数为1，经移项后左边是含未知数的二次项和一次项，右边是常数项。
解法上的相同点：都通过配方将方程转化为$(x + m)^2 = n$（$n$为常数）的形式，再用直接开平方法求解。
步骤归纳：
1. 移项：把常数项移到方程右边；
2. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
3. 变形：左边化为完全平方形式$(x + a)^2$，右边合并得常数$n$；
4. 开方：若$n \geq 0$，两边开平方得$x + a = \pm\sqrt{n}$；
5. 求解：解一元一次方程得$x = -a \pm\sqrt{n}$。

1. 自学教科书第 5 页的问题 1,完成下面的分析过程。
分析：
(1) 审题。
(2) 设未知数：设正方体的棱长为 $ x $ dm。
(3) 找等量关系：______。
(4) 列方程,解方程：______。
思考：(1) 怎样解这个方程？如何将方程转化为 $ x^{2}= a $ 的形式？
(2) 5 和 -5 是方程的两个根,它们都符合问题的实际意义吗？

答案： 1.
(3) 表面积等于给定值 $ 96dm^{2} $（根据教科书具体内容，此处假设问题1是关于正方体表面积的问题，故填正方体的表面积等于 $ 96dm^{2} $）。
(4)
根据表面积公式，列方程：
$6x^{2} = 96$，
解方程：
$x^{2} = 16⟨ x = \pm 4$，
思考：
(1) 通过移项和除以系数的方法将方程转化为 $ x^{2} = a $ 的形式。
(2) 只有 $ x = 4 $ 符合实际意义，因为棱长不能为负。

2. 解下列方程：
(1) $ 2x^{2}-8= 0 $；
(2) $ 9x^{2}-5= 3 $。
【归纳总结】一般地,对于形如 $ x^{2}= p(p\geq0) $ 的方程,根据平方根的定义,可得 $ x_{1}= $______,$ x_{2}= $______。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
由方程 $ (mx + n)^{2}= p(p\geq0) $ 可得 $ mx + n= $______。

答案： 2.
(1)
$2x^{2} - 8 = 0$，
$2x^{2} = 8$，
$x^{2} = 4$，
根据平方根的定义，得：
$x_{1} = 2, \quad x_{2} = -2$。
(2)
$9x^{2} - 5 = 3$，
$9x^{2} = 8$，
$x^{2} = \frac{8}{9}$，
根据平方根的定义，得：
$x_{1} = \frac{2\sqrt{2}}{3}, \quad x_{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
【归纳总结】
一般地，对于形如 $ x^{2} = p (p \geq 0) $ 的方程，根据平方根的定义，可得 $ x_{1} = \sqrt{p} $，$ x_{2} = -\sqrt{p} $。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
由方程 $ (mx + n)^{2} = p (p \geq 0) $ 可得 $ mx + n = \pm \sqrt{p} $。

例 1 解下列方程：
(1) $ (x - 3)^{2}-9= 0 $；
(2) $ 4(x + 3)^{2}= 25 $；
(3) $ 3(x + 1)^{2}-6= 0 $；
(3) $ 9x^{2}+6x + 1= 4 $。
(4) $ x^{2}-4x + 4= 5 $。

答案：
(1)
$(x - 3)^{2}-9 = 0$
$(x - 3)^{2}=9$
$x - 3=\pm3$
当$x - 3 = 3$时，$x=3 + 3=6$；
当$x - 3=-3$时，$x=-3 + 3=0$。
所以$x_{1}=6$，$x_{2}=0$。
(2)
$4(x + 3)^{2}=25$
$(x + 3)^{2}=\frac{25}{4}$
$x + 3=\pm\frac{5}{2}$
当$x + 3=\frac{5}{2}$时，$x=\frac{5}{2}-3=-\frac{1}{2}$；
当$x + 3=-\frac{5}{2}$时，$x=-\frac{5}{2}-3=-\frac{11}{2}$。
所以$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=-\frac{11}{2}$。
(3)
$3(x + 1)^{2}-6 = 0$
$3(x + 1)^{2}=6$
$(x + 1)^{2}=2$
$x + 1=\pm\sqrt{2}$
当$x + 1=\sqrt{2}$时，$x=\sqrt{2}-1$；
当$x + 1=-\sqrt{2}$时，$x=-\sqrt{2}-1$。
所以$x_{1}=\sqrt{2}-1$，$x_{2}=-\sqrt{2}-1$。
(4)
$9x^{2}+6x + 1=4$
$(3x + 1)^{2}=4$
$3x+1=\pm2$
当$3x + 1 = 2$时，$3x=2 - 1=1$，$x=\frac{1}{3}$；
当$3x + 1=-2$时，$3x=-2 - 1=-3$，$x=-1$。
所以$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=-1$。
(5)
$x^{2}-4x + 4=5$
$(x - 2)^{2}=5$
$x - 2=\pm\sqrt{5}$
当$x - 2=\sqrt{5}$时，$x=\sqrt{5}+2$；
当$x - 2=-\sqrt{5}$时，$x=-\sqrt{5}+2$。
所以$x_{1}=\sqrt{5}+2$，$x_{2}=-\sqrt{5}+2$。