《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

3. 抛物线 $ y = x^2 - 6x + 10 $ 通过配方化为顶点式为$y=(x-3)^2+1$,开口方向向上,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标为$(3,1)$。

答案： $y=(x-3)^2+1$；向上；直线$x=3$；$(3,1)$

问题 1：怎样画函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 21 $ 的图象？
1. 用配方法将函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 21 $ 写成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式。
$ y = \frac{1}{2}(x - 6)^2 + 3 $
2. 确定图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
开口方向：开口向上；对称轴：直线$x = 6$；顶点坐标：$(6, 3)$
3. 利用图象的对称性列表：
描点并连线：

观察图象：在对称轴的左侧,抛物线从左到右______(填上“上升”或“下降”),即当 $ x ＜ 6 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______。在对称轴的右侧呢？
下降减小
问题 2：抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点坐标及对称轴。
阅读以下内容,并回答问题：
$\begin{aligned}y &= ax^2 + bx + c \\&= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \quad ① \\&= a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right] \quad ② \\&= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2}\right] \quad ③ \\&= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}.\end{aligned} $

1. 由①到②所用的数学方法是______。
配方法
2. 由②到③运用了______公式。
完全平方
3. 由 $ y = ax^2 + bx + c $ 转化为 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式后,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点坐标为______,对称轴为______。
$\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$$x = -\frac{b}{2a}$
归纳总结
二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象和性质。
填表：
| | 对称轴 | 增减性 | 最值 |
| $ a ＞ 0 $ | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______；当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______ | 当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 取最______值,最值为______ |
| $ a ＜ 0 $ | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______；当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______ | 当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 取最______值,最值为______ |
减小增大小$\frac{4ac - b^2}{4a}$增大减小大$\frac{4ac - b^2}{4a}$

答案： 问题1：
1. 配方法转化：
$ y = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 21 $
$ = \frac{1}{2}(x^2 - 12x) + 21 $
$ = \frac{1}{2}[(x^2 - 12x + 36) - 36] + 21 $
$ = \frac{1}{2}(x - 6)^2 - 18 + 21 $
$ = \frac{1}{2}(x - 6)^2 + 3 $
2. 开口方向、对称轴和顶点坐标：
开口方向：$ a = \frac{1}{2} ＞ 0 $，开口向上；
对称轴：直线 $ x = 6 $；
顶点坐标：$ (6, 3) $。
3. 观察图像：
在对称轴左侧，抛物线从左到右下降，即当 $ x ＜ 6 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，即当 $ x ＞ 6 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
问题2：
1. 由①到②所用的数学方法是配方法。
2. 由②到③运用了完全平方公式。
3. 顶点坐标为 $ \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) $，对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} $。
归纳总结：
| | 对称轴 | 增减性 | 最值 |
|--------|-----------------|------------------------------------------------------------------------|----------------------------------------------------------------------|
| $ a ＞ 0 $ | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大 | 当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 取最小值，最值为 $ \frac{4ac - b^2}{4a} $ |
| $ a ＜ 0 $ | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小 | 当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 取最大值，最值为 $ \frac{4ac - b^2}{4a} $ |