《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 当 $ m $ 为何值时,函数 $ y = \frac{4}{x^{2m - 2}} $ 是反比例函数？求出其函数解析式。

答案： 根据反比例函数的定义，形如$y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$的函数为反比例函数。
题目给出的函数为$y = \frac{4}{x^{2m - 2}}$，要使它成为反比例函数，必须满足：
$2m - 2 = 1$
解这个方程，得到：
$2m = 3$
$m = \frac{3}{2}$
将$m = \frac{3}{2}$代入原函数，得到反比例函数的解析式为：
$y = \frac{4}{x}$
故当$m = \frac{3}{2}$时，函数$y = \frac{4}{x^{2m - 2}}$是反比例函数，其函数解析式为$y = \frac{4}{x}$。

变式 若函数 $ y = 4 \cdot x^{2m - 2} $ 是反比例函数,则 $ m = $$\frac{1}{2}$。

答案： 因为函数 $ y = 4 \cdot x^{2m - 2} $ 是反比例函数，而反比例函数的一般形式为 $ y = kx^{-1} $（$ k $ 为常数，$ k \neq 0 $），所以指数 $ 2m - 2 = -1 $。
解方程 $ 2m - 2 = -1 $：
$ 2m = -1 + 2 $
$ 2m = 1 $
$ m = \frac{1}{2} $
故答案为：$\frac{1}{2}$

1. 下列函数解析式中,哪些表示 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数？写出每个反比例函数相应的 $ k $ 的值。
(1)$ y = x^{2} - 1 $；(2)$ y = \frac{0.5}{x} $；(3)$ y = \frac{x}{2} $；(4)$ xy = 3 $；(5)$ y = \frac{1}{x^{2}} $；(6)$ y = \frac{a}{x} $；(7)$ y = 2x^{-1} $；(8)$ y = \frac{2}{x + 1} $；(9)$ y = \frac{m^{2} + 1}{x} $($ m $ 为常数)。

答案： 答题格式如下：
(1) 不是反比例函数。
(2) 是反比例函数，$k = 0.5$。
(3) 不是反比例函数。
(4) 是反比例函数，由$xy = 3$，得$y = \frac{3}{x}$，$k = 3$。
(5) 不是反比例函数。
(6) 虽然是反比例形式，但未说明$a$为常数且$a \neq 0$，故不能确定是反比例函数（若题目后续补充$a$为非零常数，则为反比例函数，$k=a$，此处按未补充信息处理）——根据九年级常规理解，若未指定$a$性质，则默认该式无法确定；若按照题目严格要求“表示$y$是$x$的反比例函数”，则此项不满足，因为缺乏$a$的定义。
(7) 是反比例函数，$y = 2x^{-1} = \frac{2}{x}$，$k = 2$。
(8) 不是反比例函数。
(9) 是反比例函数，因为$m$为常数，所以$m^2 + 1$为非零常数，$k = m^2 + 1$。

2. 已知 $ y = 2x^{2m} $ 是反比例函数,则 $ m $ 的值是(B)
A.$ m = \frac{1}{2} $
B.$ m = - \frac{1}{2} $
C.$ m \neq 0 $
D.一切实数

答案： B

3. 已知 $ y $ 与 $ x $ 成反比例,且当 $ x = - \frac{3}{4} $ 时,$ y = \frac{4}{3} $。
(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式。
(2)当 $ x = - \frac{2}{3} $ 时,$ y $ 的值是多少？

答案：
(1)设$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，
当$x = - \frac{3}{4}$时，$y=\frac{4}{3}$，代入可得：
$\frac{4}{3}=\frac{k}{-\frac{3}{4}}$
$k = - 1$
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y = - \frac{1}{x}$。
(2)当$x = - \frac{2}{3}$时，$y=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$。
综上：
(1) $y = - \frac{1}{x}$；
(2) $\frac{3}{2}$。

1. 函数 $ y = \frac{x}{3} $,$ y = - \frac{2}{x} $,$ y = - \frac{1}{4x} $,$ y = \frac{2}{5}x - 1 $,$ \frac{xy}{2} = 3 $ 中,反比例函数有 3 个。

答案： 3

2. 若函数 $ y = - x^{m - 2} $ 是反比例函数,则 $ m $ 的值是 1。

答案： 1

3. 矩形的面积为 24,一条边的长为 $ x $,另一条边的长为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式为 $y=\frac{24}{x}$。当宽为 2 时,长为 12；当长为 8 时,宽为 3。

答案： $y=\frac{24}{x}$ 12 3

4. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数,下表给出了 $ x $ 与 $ y $ 的一些值：

(1)写出这个反比例函数的解析式；
(2)根据函数解析式完成上表。
（1）$y =-\frac{2}{x}$；（2）从左到右依次填$-3$；$1$；$4$；$-4$；$-2$；$2$；$-\frac{2}{3}$

答案： 1. （1）
设反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$。
把$x=-1$，$y = 2$代入$y=\frac{k}{x}$中，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质，$k=xy$。
则$k=(-1)×2=-2$。
所以反比例函数解析式为$y =-\frac{2}{x}$。
2. （2）
当$y=\frac{2}{3}$时：
由$y =-\frac{2}{x}$，可得$\frac{2}{3}=-\frac{2}{x}$，根据等式性质$x=\frac{-2}{\frac{2}{3}}=-3$。
当$x = - 2$时：
把$x=-2$代入$y =-\frac{2}{x}$，则$y=-\frac{2}{-2}=1$。
当$x=-\frac{1}{2}$时：
把$x =-\frac{1}{2}$代入$y =-\frac{2}{x}$，$y=-\frac{2}{-\frac{1}{2}} = 4$。
当$x=\frac{1}{2}$时：
把$x=\frac{1}{2}$代入$y =-\frac{2}{x}$，$y=-\frac{2}{\frac{1}{2}}=-4$。
当$x = 1$时：
把$x = 1$代入$y =-\frac{2}{x}$，$y=-2$。
当$y=-1$时：
由$y =-\frac{2}{x}$，可得$-1=-\frac{2}{x}$，则$x = 2$。
当$x = 3$时：
把$x = 3$代入$y =-\frac{2}{x}$，$y=-\frac{2}{3}$。
综上，（1）反比例函数解析式为$y =-\frac{2}{x}$；（2）从左到右依次填$-3$；$1$；$4$；$-4$；$-2$；$2$；$-\frac{2}{3}$。