《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

17. (12分)如图,抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(1,0),B(-3,0) $ 两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)设(1)中的抛物线交 $ y $ 轴于点 $ C $,在该抛物线的对称轴上是否存在点 $ Q $,使得 $ \triangle QAC $ 的周长最小？若存在,求出 $ Q $ 点的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1)将A(1,0),B(-3,0)代入y = -x² + bx + c中,得$\begin{cases}-1 + b + c = 0, \\-9 - 3b + c = 0,\end{cases}$
∴$\begin{cases}b = -2, \\c = 3.\end{cases}$
∴抛物线解析式为y = -x² - 2x + 3.
(2)存在.理由如下:由题意知A,B两点关于抛物线的对称轴直线x = -1对称,
∴直线BC与直线x = -1的交点即为Q点,此时△AQC的周长最小.
∵y = -x² - 2x + 3,
∴点C的坐标为(0,3),直线BC的解析式为y = x + 3.Q点坐标即为$\begin{cases}x = -1, \\y = x + 3\end{cases}$的解.
∴$\begin{cases}x = -1, \\y = 2.\end{cases}$
∴Q(-1,2).

18. (12分)如图,抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + mx + n $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,抛物线的对称轴交 $ x $ 轴于点 $ D $. 已知 $ A(-1,0),C(0,2) $.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 $ P $,使 $ \triangle PCD $ 是以 $ CD $ 为腰的等腰三角形？如果存在,直接写出 $ P $ 点的坐标；如果不存在,请说明理由.
(3)点 $ E $ 是线段 $ BC $ 上的一个动点,过点 $ E $ 作 $ x $ 轴的垂线与抛物线相交于点 $ F $,当点 $ E $ 运动到什么位置时,四边形 $ CDBF $ 的面积最大？求出四边形 $ CDBF $ 的最大面积及此时 $ E $ 点的坐标.

答案：
(1)抛物线的解析式为y = -$\frac{1}{2}$x² + $\frac{3}{2}$x + 2.
(2)存在,P₁($\frac{3}{2}$,4),P₂($\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$),P₃($\frac{3}{2}$,-$\frac{5}{2}$).
(3)当点E运动到点(2,1)时,四边形CDBF的面积最大,Sₘₐₓ = $\frac{13}{2}$.