《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 已知$\odot O$的半径是6cm,则$\odot O$中最长的弦的长度是(B)
A.6cm
B.12cm
C.16cm
D.20cm

答案： B

3. 下列说法错误的是(C)

A.半圆是弧
B.半径相等且圆心不同的圆是等圆
C.过圆心的线段是直径
D.直径是弦

答案： C

4. 到点O的距离等于4的点的集合是以点 O 为圆心,4 为半径的圆。

答案： 以点 O 为圆心,4 为半径的圆

如图,CD是$\odot O$的直径,点A在DC的延长线上,$\angle A= 20^{\circ}$,AE交$\odot O$于点B,且$AB= OC$,连接OB。求：
(1)$\angle AOB$的度数；
(2)$\angle EOD$的度数。

答案： 1. （1）
解：
因为$AB = OC$，$OB = OC$，所以$AB = OB$。
根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，在$\triangle ABO$中，$\angle AOB=\angle A$。
已知$\angle A = 20^{\circ}$，所以$\angle AOB = 20^{\circ}$。
2. （2）
解：
因为$\angle OBE$是$\triangle ABO$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，所以$\angle OBE=\angle A+\angle AOB$。
由（1）知$\angle A=\angle AOB = 20^{\circ}$，则$\angle OBE=20^{\circ}+20^{\circ}=40^{\circ}$。
又因为$OB = OE$（都是圆的半径），所以$\angle E=\angle OBE = 40^{\circ}$。
根据三角形外角的性质，在$\triangle AOE$中，$\angle EOD=\angle A+\angle E$。
已知$\angle A = 20^{\circ}$，$\angle E = 40^{\circ}$，所以$\angle EOD=20^{\circ}+40^{\circ}=60^{\circ}$。
综上，（1）$\angle AOB$的度数为$20^{\circ}$；（2）$\angle EOD$的度数为$60^{\circ}$。

1. 轴对称图形:把一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.

答案： 轴对称图形；对称轴

2. 圆是轴对称图形,对称轴是______经过圆心的每一条直线,有______无数条对称轴.

答案： 轴对称；经过圆心的每一条直线；无数

3. 操作:在圆形的纸片上作出一条弦AB,并作出直径CD,使CD⊥AB,垂足为E,如右图所示,沿CD折叠此图,操作后回答:

(1)此图是轴对称图形,对称轴是直线CD;
(2)图中相等的线段有$AC = BC$，$AD = BD$，$OA=OB$，$OC=OD$,相等的弧有$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{ACD}=\overset{\frown}{BCD}$，$\overset{\frown}{ADC}=\overset{\frown}{BDC}$.

答案：
(1) 轴；所在直线（或 直线$CD$）。
(2) $AC = BC$，$AD = BD$，$OA=OB$，$OC=OD$；
$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{ACD}=\overset{\frown}{BCD}$，$\overset{\frown}{ADC}=\overset{\frown}{BDC}$。

阅读教科书第81页和第82页例2前的内容,思考下列问题:
1. 实践探究:把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?
结论:圆是轴对称图形,其对称轴是直径所在的直线,对称轴有无数条.
2. 如图,CD是过圆心O的任意一条直线,你能否证明圆是轴对称图形呢?

提示:欲证圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上即可.
3. 除了利用轴对称证明线段相等外,还可以用逻辑思维进行证明.阅读以下内容并填空.
已知:直径CD,弦AB,且CD⊥AB,垂足为M.
求证:AM= BM,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{BD}$.
分析:要证AM= BM,只需证AM,BM构成的两个三角形全等.因此,只要连接OA,OB或AC,BC即可.

证明:如图,连接OA,OB,则OA= OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
OA=OB,
OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL).
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于CD对称,
∴当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,$\overset{\frown}{AC}与\overset{\frown}{BC}$重合,$\overset{\frown}{AD}与\overset{\frown}{BD}$重合.
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
4. 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

符号语言:∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
∴CE= DE,$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{BD}$,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{AD}$.
5. 垂径定理的题设和结论的分析:垂径定理可改述为,一条直线若满足①过圆心,②垂直于弦,则可以推出③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧.这个定理的应用非常广泛,为证明线段相等、弧相等提供了很重要的依据,用时知“二”推“三”很方便.
6. 进一步,我们还可以得到推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考:上述推论中,为什么特别强调括号里面的部分?

答案： 1. 直径所在的直线；无数
2. 证明：在⊙O上任取一点P，作P关于直线CD的对称点P'，连接OP，过P作PM⊥CD于M，延长PM到P'使MP'=PM，连接OP'。
∵OM=OM，∠OMP=∠OMP'=90°，PM=P'M，
∴△OMP≌△OMP'（SAS），
∴OP'=OP，
∴P'在⊙O上，故圆是轴对称图形。
3. OA=OB；OM=OM；HL；BM；A；B；$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$；$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
4. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
6. 不是直径；若弦为直径，任意直径都平分它，但不一定垂直（如两条相交非垂直直径）。