《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 $1$ 下面哪些数是方程 $2x^{2} + 10x + 12 = 0$ 的根？
$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$。
分析：要判定一个数是否为方程的根,只要将其代入等式,看能否使等式两边相等即可。

答案： 将各数分别代入方程$2x^{2} + 10x + 12 = 0$验证：
当$x=-4$时，左边$=2×(-4)^{2}+10×(-4)+12=2×16 - 40 + 12=32 - 40 + 12=4\neq0$；
当$x=-3$时，左边$=2×(-3)^{2}+10×(-3)+12=2×9 - 30 + 12=18 - 30 + 12=0$，右边$=0$，左边=右边；
当$x=-2$时，左边$=2×(-2)^{2}+10×(-2)+12=2×4 - 20 + 12=8 - 20 + 12=0$，右边$=0$，左边=右边；
当$x=-1$时，左边$=2×(-1)^{2}+10×(-1)+12=2×1 - 10 + 12=2 - 10 + 12=4\neq0$；
当$x=0$时，左边$=2×0^{2}+10×0 + 12=0 + 0 + 12=12\neq0$；
当$x=1$时，左边$=2×1^{2}+10×1 + 12=2×1 + 10 + 12=2 + 10 + 12=24\neq0$；
当$x=2$时，左边$=2×2^{2}+10×2 + 12=2×4 + 20 + 12=8 + 20 + 12=40\neq0$；
当$x=3$时，左边$=2×3^{2}+10×3 + 12=2×9 + 30 + 12=18 + 30 + 12=60\neq0$；
当$x=4$时，左边$=2×4^{2}+10×4 + 12=2×16 + 40 + 12=32 + 40 + 12=84\neq0$。
结论：方程的根是$-3$，$-2$。

例 $2$ 试写出下列方程的根：
(1) $x^{2} - 16 = 0$；
(2) $(x + 3)(x - 2) = 0$。

答案：
(1)
由$x^{2}-16 = 0$，移项可得$x^{2}=16$，
根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a\geq0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，
所以$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
(2)
因为$(x + 3)(x - 2)=0$，
根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x + 3 = 0$或$x - 2 = 0$，
当$x+3 = 0$时，$x=-3$；当$x - 2 = 0$时，$x = 2$。
综上，
(1)的根为$x=\pm4$；
(2)的根为$x=-3$或$x = 2$。

例 $3$ 若 $x = 3$ 是方程 $x^{2} + kx = 0$ 的一个根,试求常数 $k$ 的值。

答案： 因为$x = 3$是方程$x^{2} + kx = 0$的一个根，所以将$x = 3$代入方程得：$3^{2} + 3k = 0$，即$9 + 3k = 0$，解得$3k=-9$，$k=-3$。
结论：$k=-3$

1. 下面哪些数是 $x^{2} - x - 6 = 0$ 的根？
$-4$,$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$,$4$。

答案： 答题卡：
将各个值分别代入方程 $x^{2} - x - 6 = 0$：
当 $x = -4$ 时，$(-4)^2 - (-4) - 6 = 16 + 4 - 6 = 14 \neq 0$，不是根。
当 $x = -3$ 时，$(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \neq 0$，不是根。
当 $x = -2$ 时，$(-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$，是根。
当 $x = -1$ 时，$(-1)^2 - (-1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4 \neq 0$，不是根。
当 $x = 0$ 时，$0^2 - 0 - 6 = -6 \neq 0$，不是根。
当 $x = 1$ 时，$1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6 \neq 0$，不是根。
当 $x = 2$ 时，$2^2 - 2 - 6 = 4 - 2 - 6 = -4 \neq 0$，不是根。
当 $x = 3$ 时，$3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$，是根。
当 $x = 4$ 时，$4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \neq 0$，不是根。
综上所述，方程 $x^{2} - x - 6 = 0$ 的根是 $x = -2$ 和 $x = 3$。

2. 试写出 $x^{2} - 2x = 0$ 的根,你能写出几个？

答案： 因式分解得$x(x - 2) = 0$，
根据若两个数的乘积为$0$，那么至少有一个数为$0$，可得：
$x = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$。
所以，方程$x^{2} - 2x = 0$的根为$x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$，能写出$2$个根。

3. 方程 $x^{2} + 4x + 3 = 0$ 的两个根为(D)
A.$x_{1} = 1$,$x_{2} = 3$
B.$x_{1} = -1$,$x_{2} = 3$
C.$x_{1} = 1$,$x_{2} = -3$
D.$x_{1} = -1$,$x_{2} = -3$

答案： D

4. 若 $x = 1$ 是方程 $x^{2} - 2x + a = 0$ 的根,则 $a = $ 1。

答案： 1

1. 方程 $x(x - 2) + x - 2 = 0$ 的解是(D)
A.$x = 2$
B.$x_{1} = -2$,$x_{2} = 1$
C.$x = -1$
D.$x_{1} = 2$,$x_{2} = -1$

答案： D

2. 若 $x = 1$ 是一元二次方程 $x^{2} + ax + b = 0$ 的一个根,则 $a^{2} + b^{2} + 2ab$ 的值为 1。

答案： 1

3. 若 $x^{2} - 2x = 2$,则 $2x^{2} - 4x + 3 = $ 7。

答案： 7

4. 已知 $m$ 为方程 $x^{2} + 3x - 2022 = 0$ 的根,则 $m^{3} + 2m^{2} - 2025m + 2022$ 的值为(B)
A.$-2022$
B.$0$
C.$2022$
D.$4044$

答案： B