《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 一般地,如果两个变量 $ x,y $ 之间的关系可以表示成$y = \frac{k}{x}(k$为常数, $k \neq 0)$的形式,那么称 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数. 反比例函数的自变量 $ x $ 的取值范围是$x \neq 0$.

答案： 答题卡作答：
$y = \frac{k}{x}(k$为常数, $k \neq 0)$；
$x \neq 0$。

2. 反比例函数 $ y= \frac{k}{x} $ 的图象是由两支曲线组成的,这两支曲线通常称为双曲线. 当 $ k＞0 $ 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ k＜0 $ 时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.

答案： 双曲线；一、三；减小；二、四；增大

3. 数学与实际生活是紧密结合在一起的,现实生活中的一些问题都可以用反比例函数来解决. 在应用反比例函数时,应特别注意 自变量 的取值范围.

答案： 自变量

例 1 反比例函数的解析式 $ y= (m - 1)x^{m^{2}-2} $,则 $ m= $ $-1$.

答案： $ - 1$

例 2 如果 $ y= y_{1}+y_{2} $,$ y_{1} $ 与 $ x $ 成正比例,$ y_{2} $ 与 $ x - 2 $ 成反比例,且 $ x = 1 $ 时,$ y = 5 $,$ x = 3 $ 时,$ y = 7 $,则该函数的解析式是(B)
A.$ y = 3x-\frac{2}{x} $
B.$ y = 3x-\frac{2}{x - 2} $
C.$ y = 2x+\frac{3}{x} $
D.$ y = 2x+\frac{3}{x - 2} $

答案： B

例 3 如图,点 $ P $ 是反比例函数图象上的一点,过点 $ P $ 分别向 $ x $ 轴,$ y $ 轴作垂线. 若阴影部分面积为 $ 3 $,则这个反比例函数的解析式是 $y=-\dfrac{3}{x}$.

答案： $y=-\dfrac{3}{x}$

例 4 如图,是三个反比例函数 $ y= \frac{k_{1}}{x} $,$ y= \frac{k_{2}}{x} $,$ y= \frac{k_{3}}{x} $ 在 $ x $ 轴上方的图象,由此观察得到 $ k_{1},k_{2},k_{3} $ 的大小关系为(B)
A.$ k_{1}＞k_{2}＞k_{3} $
B.$ k_{3}＞k_{2}＞k_{1} $
C.$ k_{2}＞k_{3}＞k_{1} $
D.$ k_{3}＞k_{1}＞k_{2} $

答案： B

例 5 如图,在平面直角坐标系中,$ O $ 为坐标原点,点 $ A(2,4) $,$ B $ 在函数 $ y= \frac{k}{x}(x＞0) $ 的图象上,过点 $ A $ 作 $ AD\perp x $ 轴于点 $ D $,过点 $ B $ 作 $ BC\perp x $ 轴于点 $ C $,连接 $ OA $,$ AB $.

(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 若点 $ D $ 为 $ OC $ 的中点,求四边形 $ OABC $ 的面积.

答案：
(1) 因为点 $ A(2,4) $ 在函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上，将 $ A(2,4) $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $，得 $ 4 = \frac{k}{2} $，解得 $ k = 8 $。
(2) 因为 $ AD \perp x $ 轴于点 $ D $，点 $ A(2,4) $，所以 $ D(2,0) $。
因为 $ D $ 为 $ OC $ 的中点，所以 $ OC = 2OD = 4 $，则 $ C(4,0) $。
因为点 $ B $ 在函数 $ y = \frac{8}{x} $ 的图象上，且 $ BC \perp x $ 轴于点 $ C(4,0) $，所以 $ B(4, \frac{8}{4}) = (4,2) $。
四边形 $ OABC $ 的面积可转化为梯形 $ OABC $ 的面积，上底 $ AD = 4 $，下底 $ BC = 2 $，高 $ DC = OC - OD = 4 - 2 = 2 $，又因为 $ OD = 2 $，所以梯形的高为 $ OC = 4 $（以 $ OC $ 为底边，$ AD $ 和 $ BC $ 为两底）。
根据梯形面积公式：$ S = \frac{1}{2}(AD + BC) × OC = \frac{1}{2}(4 + 2) × 4 = 12 $。
答案：
(1) $ k = 8 $；
(2) $ 12 $