《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 已知关于$x的方程(m + 2)x^{|m|} + 2x - 1 = 0$：
(1) 当$m$为何值时,原方程是一元一次方程？
(2) 当$m$为何值时,原方程是一元二次方程？

答案： 解:
(1)当$m=-2,-1,0,1$时,原方程是一元一次方程.
(2)当$m=2$时,原方程是一元二次方程.

1. 指出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) $1 - 2x^{2} = 0$；
(2) $3x^{2} = 4x$。

答案：
(1) 方程 $1 - 2x^{2} = 0$ 整理为标准形式 $ -2x^{2} + 1 = 0$。
二次项系数：$-2$，
一次项系数：$0$，
常数项：$1$。
(2) 方程 $3x^{2} = 4x$ 整理为标准形式 $3x^{2} - 4x = 0$。
二次项系数：$3$，
一次项系数：$-4$，
常数项：$0$。

2. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(k + 1)x^{2} + 2(k - 1)x + k^{2} - 1 = 0$ 的常数项等于 $0$,则 $k = $ 1。

答案： 因为关于$x$的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为$0$，即$k + 1 \neq 0$，解得$k \neq -1$。
又因为常数项等于$0$，所以$k^{2} - 1 = 0$，即$k^{2} = 1$，解得$k = 1$或$k = -1$。
综合以上，$k = 1$。
$1$

3. 有一天,甲打算拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽 $4$ 尺,竖着比门框高 $2$ 尺。乙教他沿着门的两个对角斜着拿竿,甲一试,不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？设竹竿长度为 $x$ 尺,请根据这一问题列出方程：$(x - 4)^2 + (x - 2)^2 = x^2$。将其整理为一般形式：$x^2 - 12x + 20 = 0$。

答案： 设竹竿长度为$x$尺，则门框宽为$(x - 4)$尺，门框高为$(x - 2)$尺。
根据勾股定理，门框宽的平方加门框高的平方等于竹竿长度（对角线）的平方，列出方程：$(x - 4)^2 + (x - 2)^2 = x^2$。
整理方程：
$\begin{aligned}(x^2 - 8x + 16) + (x^2 - 4x + 4) &= x^2\\2x^2 - 12x + 20 &= x^2\\x^2 - 12x + 20 &= 0\end{aligned}$
列出方程：$(x - 4)^2 + (x - 2)^2 = x^2$
一般形式：$x^2 - 12x + 20 = 0$

4. 自学教科书第 $3$ 页,标记出一元二次方程的根的定义。

答案： 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

5. 一元一次方程的根有几个？一元二次方程的根有几个？若不止一个,请举例说明。

答案： 一元一次方程的根有1个。
一元二次方程的根有三种情况：
有两个不相等的实数根，例如：方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，根为$x_1 = 2$，$x_2 = 3$；
有两个相等的实数根，例如：方程$x^2 - 4x + 4 = 0$，根为$x_1 = x_2 = 2$；
没有实数根，例如：方程$x^2 + x + 1 = 0$。

1. 在前面“自主学习”有关执竿进屋的问题中,我们列得方程 $x^{2} - 12x + 20 = 0$。
列表、填空：

9；0；-5；-8；-9；-8；-5；0；9；16；25
2. 上述问题中一元二次方程的解是多少？如果抛开实际问题,问题中还有其他解吗？
方程的解是$x=2$和$x=10$；抛开实际问题，方程还有解$x=10$（此处原表述可能存在重复，根据上下文应为两个解均为方程本身的解）
3. 方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
回过头来看：$x^{2} - 12x + 20 = 0$ 有两个根,一个是 $2$,另一个是 $10$,都满足方程；有时由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的解,还要考虑这些根是否符合实际问题的意义。
思考：$x = 2$ 和 $x = 10$ 都是实际问题的解吗？
$x=2$是实际问题的解，$x=10$不是实际问题的解
注意：一元一次方程的解不会多于一个,但是一元二次方程可能有两个根,这是二者的不同之处。

答案： 1. 9；0；-5；-8；-9；-8；-5；0；9；16；25
2. 方程的解是$x=2$和$x=10$；抛开实际问题，方程还有解$x=10$（此处原表述可能存在重复，根据上下文应为两个解均为方程本身的解）
3. $x=2$是实际问题的解，$x=10$不是实际问题的解