《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 完成教科书第82页的例2,求出赵州桥主桥拱的半径。
思考并填空：
(1) 在圆中,解决有关弦的问题,常常需要作什么辅助线？
(过圆心作弦的垂线，连结半径，构造直角三角形。)
(2) 把垂径定理和勾股定理结合起来,容易得到圆的半径 $ R $,圆心到弦的距离 $ d $,弦长 $ a $ 之间的解析式是$ R^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 $。
【归纳总结】在圆中求半径(或弦长,弦心距),通常要构造直角三角形,垂径定理常伴随着勾股定理一起出现。

答案：
(1) 过圆心作弦的垂线，连结半径，构造直角三角形。
(2) $ R^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 $

1. 往直径为 $ 78 $ cm 的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示。若水面宽 $ AB = 72 $ cm,则水的最大深度为(C)

A.$ 36 $ cm
B.$ 27 $ cm
C.$ 24 $ cm
D.$ 15 $ cm

答案： C

2. 在圆柱形油槽内装有一些油,油槽直径 $ MN $ 为 $ 10 $ dm,截面如图所示,油面宽 $ AB $ 为 $ 6 $ dm。如果再注入一些油,当油面宽变为 $ 8 $ dm 时,油面 $ AB $ 上升(D)

A.$ 1 $ dm
B.$ 4 $ dm
C.$ 3 $ dm
D.$ 1 $ dm 或 $ 7 $ dm

答案： D

3. 如图,$ \odot O $ 的直径 $ AB $ 垂直于弦 $ CD $,垂足为 $ E $,$ AE = 2 $,$ CD = 8 $。
(1) 求 $ \odot O $ 的半径长；
(2) 连接 $ BC $,作 $ OF \perp BC $ 于点 $ F $,求 $ OF $ 的长。

答案：
(1) 设$\odot O$的半径为$r$，
∵$AB$是直径且$AB \perp CD$，由垂径定理得$CE=\frac{1}{2}CD=4$，
∵$AE=2$，
∴$OE=OA-AE=r-2$，
在$Rt\triangle OEC$中，$OC^2=OE^2+CE^2$，即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
解得$r=5$，即$\odot O$的半径为$5$。
(2) 由
(1)知$AB=2r=10$，$OB=5$，$OE=5-2=3$，
∴$EB=OE+OB=3+5=8$，
在$Rt\triangle CEB$中，$BC=\sqrt{CE^2+EB^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$，
∵$OF \perp BC$，由垂径定理得$BF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$，
在$Rt\triangle OFB$中，$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$。
(1) $5$；
(2) $\sqrt{5}$。

1. 如图,弦 $ AB $ 的长是 $ 24 $,$ ON \perp AB $,垂足为点 $ N $,且 $ ON = 5 $,则 $ OA $ 的长为(A)

A.$ 13 $
B.$ 7 $
C.$ 9 $
D.$ 11 $

答案： A