《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 2 请在例 1 的直角坐标系中,画出函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2,y = -x^2,y = -2x^2 $ 的图象.


思考：比较函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2,y = -x^2,y = -2x^2 $ 的图象,找出它们的异同点.
【归纳总结】二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象和性质.
(1)填表：
|$a$的取值|图象|开口方向|顶点|对称轴|最值|
|----|----|----|----|----|----|
|$a＞0$|抛物线|向上|$(0,0)$|$y$轴|当$x=0$时,$y$有最小值,是$0$|
|$a＜0$|抛物线|向下|$(0,0)$|$y$轴|当$x=0$时,$y$有最大值,是$0$|
(2)增减性：如果 $ a ＞ 0 $,图象在对称轴左侧时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；图象在对称轴右侧时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,简记为左减右增. 如果 $ a ＜ 0 $ 呢？如果$a＜0$，图象在对称轴左侧时，$y$随$x$的增大而增大；图象在对称轴右侧时，$y$随$x$的增大而减小，简记为左增右减。
(3)当 $ a ＞ 0 $ 时,$ a $ 越大,抛物线开口越窄；当 $ a ＜ 0 $ 时,$ a $ 越大,抛物线开口越宽. 因此,$ |a| $ 越大,抛物线开口越窄.
练习：二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象如图所示,将图中代表相应抛物线的字母填入括号内.

① $ y = 3x^2( C ) $；
② $ y = -3x^2( A ) $；
③ $ y = \frac{1}{3}x^2( D ) $；④ $ y = -\frac{1}{3}x^2( B ) $.

答案： 归纳总结
(1)
|$a$的取值|图象|开口方向|顶点|对称轴|最值|
|----|----|----|----|----|----|
|$a＞0$|抛物线|向上|$(0,0)$|$y$轴|当$x=0$时,$y$有最小值,是$0$|
|$a＜0$|抛物线|向下|$(0,0)$|$y$轴|当$x=0$时,$y$有最大值,是$0$|
(2)减小；增大；左减右增；如果$a＜0$，图象在对称轴左侧时，$y$随$x$的增大而增大；图象在对称轴右侧时，$y$随$x$的增大而减小，简记为左增右减。
(3)窄；宽；窄。
练习
①$C$；②$A$；③$D$；④$B$。

1. 若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象过点 $ (-1,3) $,则 $ a $ 的值为3.

答案： 3

2. 函数 $ y = 4x^2 $ 的图象开口方向向上,顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴. 当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.

答案： 向上；$(0,0)$；$y$轴；增大