《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 一般地,因为抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的

顶

点是最低(高)点,所以当 $ x = $ $-\dfrac{b}{2a}$时,二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 有最小(大)值 $\dfrac{4ac - b^2}{4a}$。

答案： $-\dfrac{b}{2a}$；$\dfrac{4ac - b^2}{4a}$

2. 已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查发现：如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件。要想每周获得6090元的利润,该商品定价应为多少元？
分析：没调价之前商场一周的利润为6000元。设销售单价上调了 $ x $ 元,那么每件商品的利润可表示为(20+x)元,每周的销售量可表示为(300-10x)件,一周的利润可表示为(20+x)(300-10x)元。要想获得6090元利润,可列方程(20+x)(300-10x)=6090。
若设商品定价为 $ x $ 元,那么每件商品的利润可表示为(x-40)元,每周的销售量可表示为(900-10x)件,一周的利润可表示为(x-40)(900-10x)元。要想获得6090元利润,可列方程(x-40)(900-10x)=6090。
该商品定价应为61元或69元。

答案：
该商品定价应为61元或69元。

已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时,商场能获得最大利润？

答案： 设商品定价为$x$元，总利润为$W$元。
销售量随价格变动的关系为：每涨价1元，销售量减少10件。
因此，销售量为$300 - 10(x - 60)$。
每件商品的利润为售价减去进价，即$x - 40$元。
则总利润$W$可以表示为：
$W = (x - 40)[300 - 10(x - 60)]$
$W = (x - 40)(-10x + 900)$
$W = -10x^2 + 1300x - 36000$
$W = -10(x^2 - 130x) - 36000$
$W = -10(x^2 - 130x + 4225) + 42250 - 36000$
$W = -10(x - 65)^2 + 6250$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此最大值出现在顶点处。
顶点的$x$坐标为65，此时$W$达到最大值6250。
答：该商品应定价为65元时，商场能获得最大利润。

变式1 若把“每涨价1元,每星期要少卖出10件”改为“每降价1元,每星期可多卖出20件”,其他条件不变,该商品应定价为多少元时,商场能获得最大利润？

答案： 设商品定价为$x$元，总利润为$W$元，已知原定价为 50 元时，每星期可卖出 100 件，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，则
$W=(x - 40)[100 + 20(50 - x)]$
$=(x - 40)(100 + 1000 - 20x)$
$=(x - 40)(1100 - 20x)$
$=1100x-20x^{2}-44000 + 800x$
$=-20x^{2}+1900x - 44000$
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点横坐标$x =-\frac{b}{2a}$，在$W=-20x^{2}+1900x - 44000$中，$a=-20$，$b = 1900$，则
$x=-\frac{1900}{2×(-20)} = 47.5$
答：该商品应定价为 47.5 元时，商场能获得最大利润。

变式2 调整价格不仅包括涨价还包括降价,综合上述涨价和降价及现在的销售状况,你能确定什么情况下利润最大吗？
【归纳总结】(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围。
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
其流程为：审题→找出等量关系→列出函数解析式(建模)→求最值。

答案： 设每件商品的售价应定为$x$元，此时销售量可以表示为$y = (250 - 10(x - 25))$件（根据售价与销售量的关系得出，销售量随售价上涨而减少）。
每件商品的利润为$(x - 20)$元（售价减去成本）。
因此，总利润$W$可以表示为：
$W = (x - 20) × y$
$W = (x - 20) × (250 - 10(x - 25))$
$W = -10x^2 + 700x - 10000$
$W= -10(x - 35)^2 + 2250$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此函数有最大值。
根据二次函数的性质，当$x = 35$时，$W$取得最大值，即$W_{max} = 2250$元。
又因为售价$x$应大于等于成本价$20$元，且销售量$y$应大于等于$0$，即：
$250 - 10(x - 25) \geq 0$
$x \leq 50$
所以自变量$x$的取值范围为$20 \leq x \leq 50$内的价格。
而在这个范围内，$x = 35$时取得最大利润。
答：每件商品售价定为$35$元时，利润最大。