《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 概念。
(1) 形状相同的图形叫做相似图形。
(2) 两条线段的比,就是两条长度的比。
(3) 两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行（或 在同一条直线上 ）,像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心。

答案：
(1)相似图形
(2)长度
(3)对应顶点；平行（或 在同一条直线上 ）；位似图形；位似中心

2. 相似三角形的判定。
(1) 三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。。
(2) 三角形相似的判定方法1：三边对应成比例的两个三角形相似。。
(3) 三角形相似的判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。。
(4) 三角形相似的判定方法3：两角分别相等的两个三角形相似。。

答案：
(1) 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2) 三边对应成比例的两个三角形相似。
(3) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
(4) 两角分别相等的两个三角形相似。

3. 性质。
(1) 相似三角形对应线段的比等于相似比。
(2) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

答案：
(1)相似比
(2)相似比的平方

例1 如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置。已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9。若AA' = 1,求A'D的长。

答案： $ 3 $

例2 在△ABC中,∠ABC = 80°,∠BAC = 40°,AB的垂直平分线分别与AC,AB交于点D,E。
(1) 用尺规作出AB的垂直平分线。
(2) 求证：△ABC ∽ △BDC。

答案：
(1) 作图步骤（文字描述）：
① 分别以点$A$、$B$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于两点；
② 过这两点作一条直线，该直线即为$AB$的垂直平分线，分别与$AC$、$AB$交于点$D$、$E$。
(2) 证明：
已知$\angle ABC = 80^{\circ}$，$\angle BAC = 40^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC - \angle BAC=180^{\circ}-80^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$AD = BD$，那么$\angle ABD=\angle BAC = 40^{\circ}$。
所以$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=80^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle BDC$中，$\angle BAC=\angle DBC = 40^{\circ}$，$\angle ACB=\angle BCD$（公共角）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\sim\triangle BDC$。