《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

3. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ 2x^{2}+6x-3= 0 $ 的两根,利用根与系数的关系求下列各式的值.
(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $;
(2) $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $;
(3) $ (x_{1}-x_{2})^{2} $;
(4) $ \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}} $.

答案： 3.
(1)12;
(2)2;
(3)15;
(4)$\frac {16}{3}$.

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a+c)\cdot x^{2}+2bx+(a-c)= 0 $,其中 $ a,b,c $ 分别为 $ \triangle ABC $ 三边的长.
(1) 如果 $ x= -1 $ 是方程的根,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由；
(3) 如果 $ \triangle ABC $ 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案： $(1)$ 判断$\triangle ABC$的形状
解：
因为$x = - 1$是方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$的根，
将$x=-1$代入方程得：
$(a + c)×(-1)^{2}+2b×(-1)+(a - c)=0$，
即$a + c-2b+a - c = 0$，
合并同类项可得$2a-2b = 0$，
两边同时除以$2$得$a - b = 0$，即$a = b$。
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
$(2)$ 判断$\triangle ABC$的形状
解：
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$。
在方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$中，$A = a + c$，$B = 2b$，$C = a - c$。
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=0$。
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m=a$，$n = c$，则$\Delta = 4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=0$。
两边同时除以$4$得$b^{2}-a^{2}+c^{2}=0$，即$a^{2}=b^{2}+c^{2}$。
由勾股定理的逆定理可知，$\triangle ABC$是直角三角形。
$(3)$ 求方程的根
解：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c$。
将$a = b = c$代入方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$，得$(a + a)x^{2}+2ax+(a - a)=0$，即$2ax^{2}+2ax = 0$（$a\neq0$，因为三角形边长大于$0$）。
两边同时除以$2a$得$x^{2}+x = 0$，提取公因式$x$得$x(x + 1)=0$。
根据“若$xy = 0$，则$x = 0$或$y = 0$”，可得$x = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。
综上，答案依次为：$(1)$等腰三角形；$(2)$直角三角形；$(3)$$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。

1. 复习教科书第19页至第21页的内容,思考下列问题:
(1) 探究1是按一定速度传播的问题,这类问题的常见数量关系是什么?你还能举出生活中其他类似的问题吗?
(2) 探究2是平均变化率问题,这类问题的等量关系是什么?
(3) 认真阅读探究3,在这个问题中,上、下边衬与左、右边衬宽度的比是多少?为什么?哪句话能体现出这个问题的等量关系?
 2. 强化记忆.
(1) 在传播问题中,一般假定最早的患者仍在继续传染他人.
(2) 在平均变化率问题中,平均下降(增长)额与平均下降(增长)率是两个不同的概念,平均下降(增长)额的大小不能反映平均下降(增长)率的大小.
(3) 对于具体问题,一定要检验结果是否合理.

答案： 1.
(1) 常见数量关系：若每轮传播中平均一个传播源传播$x$个，经过$n$轮传播后，总数量为初始数量$×(1+x)^n$。生活例子：细胞分裂、谣言传播、细菌繁殖。
(2) 等量关系：初始量$×(1\pm 平均变化率)^{变化次数}=最终量$（增长用“$+$”，下降用“$-$”）。
(3) 上、下边衬与左、右边衬宽度的比是$9:7$。原因：中央矩形与整个封面的长宽比例相同。体现等量关系的句子：“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”。
2. （无需作答，为强化记忆内容）