《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 1 抛物线 $ y = 2x^2 $,$ y = 2(x + 1)^2 $,$ y = 2(x - 1)^2 $。
(1)这三个函数图象的对称轴分别是y轴（或直线x=0）,直线x=-1,直线x=1；顶点坐标分别是(0,0),(-1,0),(1,0)。
(2)函数 $ y = 2(x + 1)^2 $ 的图象可以看作 $ y = 2(x - 1)^2 $ 的图象经过怎样的变化得到的？
向左平移2个单位长度

答案：
(1)y轴（或直线x=0）；直线x=-1；直线x=1；(0,0)；(-1,0)；(1,0)
(2)向左平移2个单位长度

例 2 已知抛物线 $ y = a(x - 2)^2 $ 经过点 $ (1, 4) $。求：
(1)抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴、顶点坐标；
(3)当 $ x = 3 $ 时的函数值；
(4)抛物线上有两点 $ A(x_1, y_1) $,$ B(x_2, y_2) $,若 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 1 $,试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小；
(5)若 $ 3 \leq x \leq 4 $,直接写出 $ y $ 的取值范围；
(6)若 $ -1 \leq x \leq 4 $,直接写出 $ y $ 的取值范围。

答案：
(1)将点 $(1,4)$ 代入 $y=a(x-2)^2$，得：
$4=a(1-2)^2$，
$4 = a \cdot 1$，
解得 $a=4$，
所以抛物线的解析式为 $y=4(x-2)^2$。
(2)抛物线的对称轴为直线 $x=2$，
顶点坐标为 $(2,0)$。
(3)当 $x=3$ 时，
$y=4(3-2)^2=4$，
所以函数值为 $4$。
(4)因为$a=4\gt0$，抛物线开口向上，
在对称轴$x=2$左侧，$y$随$x$的增大而减小，
因为 $x_1 \lt x_2 \lt 1$，
所以 $y_1 \gt y_2$。
(5)因为抛物线开口向上，对称轴为$x = 2$，
当$3 \leq x \leq 4$时，$x=3$离对称轴最近，$x=4$离对称轴最远，
当$x=3$时，$y = 4(3 - 2)^2 = 4$；
当$x=4$时，$y = 4(4 - 2)^2 = 16$；
所以$y$的取值范围是$4\leq y\leq16$。
(6)因为抛物线开口向上，对称轴为$x = 2$，
当$-1 \leq x \leq 4$时，$x = 2$时，$y$有最小值$0$；
$x=-1$或$x = 4$（$x=-1$离对称轴更远）时，$y$有最大值，
当$x=-1$时，$y = 4(-1 - 2)^2 = 36$；
当$x = 4$时，$y = 4(4 - 2)^2 = 16$；
$36\gt16$，
所以$y$的取值范围是$0\leq y\leq36$。

1. 把抛物线 $ y = 3x^2 $ 向左平移 6 个单位后,得到的抛物线的解析式为$y=3(x+6)^2$。

答案： $y=3(x+6)^2$

2. 写出一个顶点是 $ (5, 0) $,形状、开口方向与抛物线 $ y = -2x^2 $ 都相同的二次函数解析式：$y=-2(x - 5)^2$。

答案： $y=-2(x - 5)^2$

1. 函数 $ y = a(x - 1)^2 $ 和 $ y = ax + a $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)

答案： B