《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 关于二次函数 $y = 2(x - 4)^2 + 6$ 的最大值或最小值,下列说法正确的是(D)
A.有最大值 $4$
B.有最小值 $4$
C.有最大值 $6$
D.有最小值 $6$

答案： D

2. 已知二次函数 $y = mx^2 - 4m^2x - 3$($m$ 为常数,$m \neq 0$),点 $P(x_P, y_P)$ 是该函数图象上一点,当 $0 \leq x_P \leq 4$ 时,$y_P \leq -3$,则 $m$ 的取值范围是(A)
A.$m \geq 1$ 或 $m ＜ 0$
B.$m \geq 1$
C.$m \leq -1$ 或 $m ＞ 0$
D.$m \leq -1$

答案： A

3. 如图,二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象经过点 $A(-1,0)$,$B(3,0)$,与 $y$ 轴交于点 $C$。下列结论：① $ac ＞ 0$；② 当 $x ＞ 0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大；③ $3a + c = 0$；④ $a + b \geq am^2 + bm$。其中正确的有(B)

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： B

4. 已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过点 $(1,0)$ 和点 $(0,-3)$,且对称轴在 $y$ 轴的左侧,则下列结论错误的是(C)
A.$a ＞ 0$
B.$a + b = 3$
C.抛物线经过点 $(-1,0)$
D.关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = -1$ 有两个不相等的实数根

答案： C

5. 为了支持大学生创业,某市出台了一项优惠政策：提供 $10$ 万元的无息创业贷款。小王利用这笔贷款,注册了一家网店,招收 $5$ 名员工,销售一种电子产品,并约定用该网店经营的利润,逐月偿还这笔无息贷款。已知该产品的成本为每件 $4$ 元,员工每人每月的工资为 $4000$ 元,该网店还需每月支付其他费用 $1$ 万元。该产品每月销售量 $y$(单位：万件)与销售单价 $x$(单位：元)之间的函数关系如图所示。
(1) 求该网店每月利润 $W$(单位：万元)与销售单价 $x$ 之间的函数解析式；
(2) 小王自网店开业起,最快在第几个月可还清 $10$ 万元的无息贷款？

答案：
(1) 设销售量 $y$ 与销售单价 $x$ 之间的函数关系为 $y = kx + b$。
当 $4 \leq x \leq 6$ 时，由点 $(4,4)$ 和 $(6,2)$ 可得方程组：
$\begin{cases}4k + b = 4, \\6k + b = 2.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -1, \\b = 8.\end{cases}$
所以，$y = -x + 8$。
当 $6 ＜ x \leq 8$ 时，由点 $(6,2)$ 和 $(8,1)$ 可得方程组：
$\begin{cases}6k + b = 2, \\8k + b = 1.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}, \\b = 5.\end{cases}$
所以，$y = -\frac{1}{2}x + 5$。
每月利润 $W$ 的计算：
当 $4 \leq x \leq 6$ 时，
$W = (x - 4)(-x + 8) - 5 × 0.4 - 1 = -x^2 + 12x - 32 - 2 - 1 = -x^2 + 12x - 35$，
当 $6 ＜ x \leq 8$ 时，
$W = (x - 4)(-\frac{1}{2}x + 5) - 5 × 0.4 - 1 = -\frac{1}{2}x^2 + 7x - 20 - 2 - 1 = -\frac{1}{2}x^2 + 7x - 23$，
综上，$W = \begin{cases}-x^2 + 12x - 35, 4 \leq x \leq 6, \\-\frac{1}{2}x^2 + 7x - 23, 6 ＜ x \leq 8.\end{cases}$
(2) 当 $4 \leq x \leq 6$ 时，$W = -(x - 6)^2 + 1$，
由于这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在 $x = 6$，此时 $W_{max} = 1$。
当 $6 ＜ x \leq 8$ 时，$W = -\frac{1}{2}(x - 7)^2 + \frac{3}{2}$，
同样，这也是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在 $x = 7$，此时 $W_{max} = 1.5$。
比较两个区间的最大值，发现 $1.5 ＞ 1$，所以 $W_{max} = 1.5$。
设最快在第 $n$ 个月可以还清 $10$ 万元的无息贷款，则 $1.5n \geq 10$，解得 $n \geq \frac{20}{3}$。
由于 $n$ 必须是整数，所以 $n_{min} = 7$。
综上，最快在第 $7$ 个月可以还清 $10$ 万元的无息贷款。

1. 已知在二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 中,其函数值 $y$ 与自变量 $x$ 之间的部分对应值如下表所示：

点 $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ 在函数的图象上,则当 $1 ＜ x_1 ＜ 2$,$3 ＜ x_2 ＜ 4$ 时,$y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系正确的是(B)
A.$y_1 ＞ y_2$
B.$y_1 ＜ y_2$
C.$y_1 \geq y_2$
D.$y_1 \leq y_2$

答案： B

2. 二次函数 $y = kx^2 - 6x + 3$ 的图象与 $x$ 轴有交点,则 $k$ 的取值范围是(D)
A.$k ＜ 3$
B.$k ＜ 3$ 且 $k \neq 0$
C.$k \leq 3$
D.$k \leq 3$ 且 $k \neq 0$

答案： D

3. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$ 的图象如图,给出下列四个结论：① $4ac - b^2 ＜ 0$；② $4a + c ＜ 2b$；③ $3b + 2c ＜ 0$；④ $m(am + b) + b ＜ a(m \neq -1)$。其中正确的个数是(B)

A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$

答案： B