《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。

答案： y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)

2. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 用配方法可化成 $y = a(x - h)^2 + k$ 的形式,其中 $h = $ $-\dfrac{b}{2a}$,$k = $ $\dfrac{4ac - b^2}{4a}$。

答案： $h=-\dfrac{b}{2a}$，$k=\dfrac{4ac - b^2}{4a}$

3. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。
(1) $a$ 的符号决定抛物线的开口方向：当 $a ＞ 0$ 时,开口向上；当 $a ＜ 0$ 时,开口向下；$|a|$ 相等,抛物线的开口大小、形状相同。
(2) 平行于 $y$ 轴(或重合)的直线记作 $x = h$。特别地,$y$ 轴记作直线 $x = 0$。

答案：
(1)向上；向下；开口大小；形状
(2)无

4. 在抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 中,$a$,$b$,$c$ 的作用如下：
(1) $a$ 决定开口方向及开口大小,这与 $y = ax^2$ 中的 $a$ 完全一样。
(2) $b$ 和 $a$ 共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴是直线 $x = $$-\dfrac{b}{2a}$,故：① 当 $b = 0$ 时,对称轴为$y$轴；② 当 $\frac{a}{b} ＞ 0$(即 $a$,$b$ 同号)时,对称轴在 $y$ 轴左侧；③ 当 $\frac{b}{a} ＜ 0$(即 $a$,$b$ 异号)时,对称轴在 $y$ 轴右侧。
(3) $c$ 决定抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $y$ 轴交点的位置。
当 $x = 0$ 时,$y = c$,所以抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $y$ 轴有且只有一个交点$(0,c)$。
① 当 $c = 0$ 时,抛物线经过原点；② 当 $c ＞ 0$ 时,与 $y$ 轴交于正半轴；③ 当 $c ＜ 0$ 时,与 $y$ 轴交于负半轴。

答案：
(1)方向；大小
(2)$-\dfrac{b}{2a}$；①$y$；②左；③右
(3)$(0,c)$；①原点；②正；③负

5. 用待定系数法求二次函数的解析式。
(1) 一般式：$y = ax^2 + bx + c$。
(2) 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$。
已知图象上三点或三对 $x$,$y$ 的值,通常选择 一般 式；已知图象的顶点坐标或对称轴,通常选择 顶点 式。

答案： 一般；顶点

6. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴的两个交点的横坐标 $x_1$,$x_2$ 是对应一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个实数根。抛物线与 $x$ 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
(1) 有两个交点 $\Leftrightarrow \Delta ＞ 0 \Leftrightarrow$ 抛物线与 $x$ 轴相交；
(2) 有一个交点(顶点在 $x$ 轴上)$\Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow$ 抛物线与 $x$ 轴相切；
(3) 没有交点 $\Leftrightarrow \Delta ＜ 0 \Leftrightarrow$ 抛物线与 $x$ 轴相离。

答案： 答题卡作答如下：
(1) 要判断抛物线 $y = ax^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴有两个交点，需满足对应一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac ＞ 0$。此时，抛物线与 $x$ 轴相交。
(2) 要判断抛物线 $y = ax^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴有一个交点（顶点在 $x$ 轴上），需满足对应一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 0$。此时，抛物线与 $x$ 轴相切。
(3) 要判断抛物线 $y = ax^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴没有交点，需满足对应一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac ＜ 0$。此时，抛物线与 $x$ 轴相离。