《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

变式2
如图,从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为 $ 90^{\circ} $ 的扇形.已知该扇形的面积为 $ 2 \pi $,则该扇形铁皮的半径为 $2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

1. 圆的两个定义.

答案： 1. 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2. 圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

2. 弦与弧.

答案： 答案略

3. 圆的对称性.

答案： 答题卡作答：
圆是中心对称图形，对称中心为圆心；圆也是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴（或圆有无数条对称轴，它们都经过圆心）。

1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。.

答案： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2. 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。.

答案： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3. 垂径定理的拓展：定理中的五个结论,可以由其中任意两个,推知其余的三个.

答案： 设垂径定理五个结论为：①过圆心（或直径）；②垂直弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧。
若已知①过圆心（或直径）和②垂直弦：
根据垂径定理，可得平分弦（若不是直径），即③成立；平分优弧，即④成立；平分劣弧，即⑤成立。
若已知①过圆心（或直径）和③平分弦（若不是直径）：
根据垂径定理推论，可得垂直弦，即②成立；平分优弧，即④成立；平分劣弧，即⑤成立。
若已知①过圆心（或直径）和④平分优弧：
连接圆心与弦的两个端点，可证明两个三角形全等，从而得到垂直弦，即②成立；平分弦（若不是直径），即③成立；平分劣弧，即⑤成立。
若已知①过圆心（或直径）和⑤平分劣弧：
同理，连接圆心与弦的两个端点，可证明两个三角形全等，从而得到垂直弦，即②成立；平分弦（若不是直径），即③成立；平分优弧，即④成立。
若已知②垂直弦和③平分弦（若不是直径）：
可证明该直线过圆心（利用垂直平分弦的直线过圆心），即①成立；平分优弧，即④成立；平分劣弧，即⑤成立。
若已知②垂直弦和④平分优弧：
可证明该直线过圆心（通过构造等腰三角形等），即①成立；平分弦（若不是直径），即③成立；平分劣弧，即⑤成立。
若已知②垂直弦和⑤平分劣弧：
可证明该直线过圆心，即①成立；平分弦（若不是直径），即③成立；平分优弧，即④成立。
若已知③平分弦（若不是直径）和④平分优弧：
可证明该直线过圆心（通过弦的垂直平分线过圆心等），即①成立；垂直弦，即②成立；平分劣弧，即⑤成立。
若已知③平分弦（若不是直径）和⑤平分劣弧：
可证明该直线过圆心，即①成立；垂直弦，即②成立；平分优弧，即④成立。
若已知④平分优弧和⑤平分劣弧：
可证明该直线过圆心（平分弦所对两条弧的直线过圆心），若该直线与弦不垂直，可通过构造等腰三角形等证明其垂直弦，即②成立；平分弦（若不是直径），即③成立；同时该直线过圆心，即①成立。
综上，垂径定理中的五个结论，可以由其中任意两个，推知其余的三个。

三、圆心角、弧、弦之间的关系.
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量分别相等.

答案： 在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
若两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
若两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的优弧（或劣弧）相等。
因此，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量分别相等。

1. 圆心角：在圆中，顶点位于圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。.

答案： 在圆中，顶点位于圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。

2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。.

答案： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3. 性质：______.

答案： 答案略

1. 注意考虑点的位置.
(1) 点 $ P $ 到 $ \odot O $ 上的最近距离为 $ 3 cm $,最远距离为 $ 5 cm $,则 $ \odot O $ 的半径为4 或 1 $ cm $.
(2) $ BC $ 是 $ \odot O $ 的一条弦,$ \angle BOC = 120° $,点 $ A $ 是 $ \odot O $ 上的一点(不与 $ B $,$ C $ 重合),则 $ \angle BAC $ 的度数为60° 或 120°.

答案：
(1)
当点 $P$ 在圆内时：
最近距离是点 $P$ 到圆上各点的最小值，即 $r - OP = 3$，
最远距离是点 $P$ 到圆上各点的最大值，即 $r + OP = 5$，
由 $r - OP = 3$ 和 $r + OP = 5$，
解得：
$r = 4$，
$OP = 1$，
当点 $P$ 在圆外时：
最近距离为 $OP - r = 3$，
最远距离为 $OP + r = 5$，
由 $OP - r = 3$ 和 $OP + r = 5$，
解得：
$r = 1$，
$OP = 4$，
所以圆的半径为 $4 或 1$。
(2)
当点 $A$ 位于优弧上时，
根据圆周角定理，
$\angle BAC = \frac{1}{2} × \angle BOC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，
当点 $A$ 位于劣弧上时，
优弧所对的圆周角为：
$360°-120°=240°$，
根据圆周角定理，
$\angle BAC = \frac{1}{2} × 240° = 120°$，
所以 $\angle BAC$ 的度数为 $60°$ 或 $120°$。

2. 注意考虑弦的位置.
(1) 在半径为 $ 5 cm $ 的圆中,有两条平行的弦,一条为 $ 8 cm $,另一条为 $ 6 cm $,则这两条平行弦的距离是1cm或7cm.
(2) $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ AC $,$ AD $ 是 $ \odot O $ 的两条弦,且 $ \angle BAC = 30° $,$ \angle BAD = 45° $,则 $ \angle CAD $ 的度数为15°或75°.

答案：
(1)
设圆的半径$R = 5cm$，弦$AB = 8cm$，弦$CD = 6cm$，圆心$O$到$AB$的距离为$d_1$，圆心$O$到$CD$的距离为$d_2$。
根据垂径定理，$d_1=\sqrt{R^{2}-(\frac{AB}{2})^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3cm$，$d_2=\sqrt{R^{2}-(\frac{CD}{2})^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4cm$。
当两条弦在圆心同侧时，两条平行弦的距离为$\vert d_2 - d_1\vert= 4 - 3=1cm$；
当两条弦在圆心两侧时，两条平行弦的距离为$d_1 + d_2=3 + 4 = 7cm$。
故答案为$1cm$或$7cm$。
(2)
当$AC$和$AD$在$AB$的同侧时，$\angle CAD=\angle BAD-\angle BAC = 45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$；
当$AC$和$AD$在$AB$的两侧时，$\angle CAD=\angle BAD+\angle BAC = 45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$。
故答案为$15^{\circ}$或$75^{\circ}$。