《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 函数 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的图象是一条抛物线,它的顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴. 当 $ a $＞$ 0 $ 时,开口向上;当 $ a $＜$ 0 $ 时,开口向下.

答案： 抛物线；(0,0)；y轴；＞；＜

2. 抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^{2} $ 的顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口向上;抛物线 $ y = - 3x^{2} $ 的顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口向下.

答案： (0,0)；y轴；上；(0,0)；y轴；下

3. 如图是一个抛物线形拱桥,根据量得的数据,小明建立了如下图所示的两个不同的坐标系,则所求的不同的解析式为$y = \frac{3}{200}x^2 - 6$,$y = -\frac{3}{200}x^2 + 6$.

答案： 第一个坐标系解析式：
设抛物线顶点坐标为$(0, -6)$，与$x$轴交于$(-20, 0)$和$(20, 0)$，设解析式为$y = ax^2 - 6$。
将$(20, 0)$代入得：$0 = a(20)^2 - 6$，解得$a = \frac{3}{200}$。
故解析式为$y = \frac{3}{200}x^2 - 6$。
第二个坐标系解析式：
设抛物线顶点坐标为$(0, 6)$，与$x$轴交于$(-20, 0)$和$(20, 0)$，设解析式为$y = ax^2 + 6$。
将$(20, 0)$代入得：$0 = a(20)^2 + 6$，解得$a = -\frac{3}{200}$。
故解析式为$y = -\frac{3}{200}x^2 + 6$。
$y = \frac{3}{200}x^2 - 6$，$y = -\frac{3}{200}x^2 + 6$

有一座抛物线形拱桥如图所示,当水面在 $ L $ 时,拱顶离水面 $ 2 \, m $,水面宽 $ 4 \, m $. 水面下降 $ 1 \, m $ 时,水面宽度增加多少?

分析:二次函数的图象是抛物线,为了方便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为 $ y $ 轴建立直角坐标系.
变式 将问题中“水面下降 $ 1 \, m $,水面宽度增加多少?”改为“一艘宽 $ 2 \, m $,高 $ 1.6 \, m $ 的小船能否安全通过?”其他不变.

答案： 解答：
1. 建立坐标系：以拱顶为原点，对称轴为y轴，设抛物线方程为$ y = ax^2 $。
2. 求抛物线解析式：
水面宽4m时，水面离拱顶2m，故抛物线过点$ (2, -2) $。
代入得：$ -2 = a \cdot 2^2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2} $，即$ y = -\frac{1}{2}x^2 $。
3. 判断小船能否通过：
小船宽2m，故考虑$ x = \pm1 $处的拱桥高度。
当$ x = 1 $时，$ y = -\frac{1}{2}(1)^2 = -0.5 \, m $。
此时拱桥离水面高度为：$ -0.5 - (-2) = 1.5 \, m $。
小船高1.6m，因$ 1.6 ＞ 1.5 $，故船顶会触碰到拱桥。
结论：小船不能安全通过。

例 隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是 $ 8 \, m $,宽是 $ 2 \, m $,抛物线可以用 $ y = - \frac{1}{4}x^{2} + 4 $ 表示,如图所示.
(1) 一辆货运卡车高 $ 4 \, m $,宽 $ 2 \, m $,它能通过该隧道吗?
(2) 如果该隧道内设双行道,那么这辆货运卡车是否可以通过?

答案：
(1)
当 $x = 2$ 时，代入抛物线方程 $y = -\frac{1}{4}x^{2} + 4$，
得：$y = -\frac{1}{4} × 2^{2} + 4 = -\frac{1}{4} × 4 + 4 = -1 + 4 = 3$，
此时，隧道在 $x = 2$ 处的总高度为抛物线的 $y$ 值加上长方形的宽，即 $3 + 2 = 5 \, m$。
因为货运卡车高 $4 \, m$，且 $5 \, m ＞ 4 \, m$，所以货运卡车能通过该隧道。
(2)
当 $x = 4$ 时（考虑双行道，卡车可能靠近隧道一侧行驶，取 $x = 4$ 进行检验），
代入抛物线方程 $y = -\frac{1}{4}x^{2} + 4$，
得：$y = -\frac{1}{4} × 4^{2} + 4 = -\frac{1}{4} × 16 + 4 = -4 + 4 = 0$，
此时，隧道在 $x = 4$ 处的总高度仅为长方形的宽，即 $2 \, m$。
因为 $2 \, m ＜ 4 \, m$，且抛物线在 $x = 4$ 处的 $y$ 值为 $0$，意味着隧道在此处的高度仅由长方形构成，没有额外的高度空间，所以如果隧道内设双行道，这辆货运卡车不能通过。