《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

如图,$E是正方形ABCD中CD$边上任意一点,以点$A$为中心,把$\triangle ADE顺时针旋转90^{\circ}$,画出旋转后的图形.

分析:关键是确定$\triangle ADE$三个顶点的对应点,即它们旋转后的位置.
方法一:点$A$是旋转中心,所以它的对应点是点A. 在正方形$ABCD$中,$AD = AB$,$\angle DAB = 90^{\circ}$, 所以旋转后点$D$与点B重合.设点$E的对应点是点E'$,因为旋转前后的三角形全等, 所以$DE = $BE'. 如何确定点$E'$呢?
方法二:① 以$AB$为边,按顺时针方向作$\angle BAB'$,使$\angle BAB' = $90°;
② 在$AB'$上截取AE'=AE;
③ 连接$BE'$,得到$\triangle ABE'$.
则$\triangle ABE'就是\triangle ADE绕点A$旋转后的三角形.

答案： 点A；点B；BE'；90°；AE'=AE

1. 已知点$D是\triangle ABC中BC$边的中点.
(1) 画出$\triangle ABC绕点D旋转180^{\circ}的图形\triangle EBC$;
(2) 四边形$ABEC$是怎样的四边形? 为什么?

答案：
(1) 作图步骤：连接AD并延长至点E，使DE=AD，连接EB、EC，△EBC即为所求。
(2) 平行四边形。理由：
∵D是BC中点，
∴BD=CD。由旋转180°性质得AD=ED。
∴四边形ABEC对角线AE与BC互相平分，故四边形ABEC是平行四边形。

2. 如图,在$4×4$的方格纸中,$\triangle ABC$的三个顶点都在格点上.
(1) 在图(1)中画出与$\triangle ABC成轴对称且与\triangle ABC$有公共边的格点三角形(画出一个即可);
(2) 将图(2)中的$\triangle ABC绕着点C按顺时针方向旋转90^{\circ}$,画出旋转后的三角形.

答案：
(1) 图（1）中，可画出$\triangle ABC$关于$AC$对称的格点三角形$\triangle ABC'$（或关于$BC$对称的$\triangle A'BC$等，画出一个即可），如下左图：
[画图：在图
(1)中，以$AC$为对称轴，画出$B$点的对称点$C'$（在格点上），连接$AC', BC'$形成$\triangle AB C'$ ]
(2) 图（2）中，将$\triangle ABC$绕着点$C$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$后的三角形如下右图：
[画图：在图
(2)中，将点$A$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$到$A''$，点$B$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$到$B''$，连接$A''B'', A''C, B''C$形成旋转后的三角形]

1. 如图,$\triangle ABC$是直角三角形,$BC$是斜边,将$\triangle ABP绕点A$逆时针旋转后,能与$\triangle ACP'$重合. 如果$AP = 3$,求$PP'$的长.

答案： 由旋转的性质可知，$\triangle ABP \cong \triangle ACP'$，
所以$AP = AP' = 3$，$\angle BAP = \angle CAP'$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，
所以$\angle PAP' = \angle PAC + \angle CAP' = \angle PAC + \angle BAP = \angle BAC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle APP'$中，根据勾股定理$PP'=\sqrt{AP^{2}+AP'^{2}}$，
把$AP = AP' = 3$代入可得：$PP'=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
综上，$PP'$的长为$3\sqrt{2}$。