《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 直线 $ y = 2x + 3 $ 是由直线 $ y = 2x $ 向上平移3个单位长度得到的；直线 $ y = 2x - 3 $ 是由直线 $ y = 2x $ 向下平移3个单位长度得到的。

答案： 上；3；下；3

2. 抛物线 $ y = ax^2 $ 的对称轴是$y$ 轴（或 $x = 0$）,顶点是原点（或 $(0,0)$）。当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线的开口向上,在对称轴左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： 答题卡作答：
对称轴：$y$ 轴（或 $x = 0$）；
顶点：原点（或 $(0,0)$）；
当 $a ＞ 0$ 时，抛物线的开口：向上；
在对称轴左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而：减小；
当 $a ＜ 0$ 时，抛物线的开口：向下；
在对称轴左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而：增大。

3. 函数 $ y = 2x^2 + 1 $ 的图象的形状为抛物线,开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,1)。其图象是由抛物线 $ y = 2x^2 $ 向上平移1个单位长度得到的。

答案： 抛物线；向上；y轴；(0,1)；上；1

在同一直角坐标系中,画出二次函数 $ y = 2x^2 $,$ y = 2x^2 + 1 $,$ y = 2x^2 - 1 $ 的图象。
列表：

| $ y = 2x^2 - 1 $ | …$ $ | $ 3.5 $ | $ 1 $ | $ -0.5 $ | $ -1 $ | $ -0.5 $ | $ 1 $ | $ 3.5 $ | …$ $ |

描点并连线：
(1)观察图象并填表：

| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $y=2x^2$ | 向上 | y轴 | $(0,0)$ |
| $y=2x^2+1$ | 向上 | y轴 | $(0,1)$ |
| $y=2x^2-1$ | 向上 | y轴 | $(0,-1)$ |
(2)把抛物线 $ y = 2x^2 $ 向上平移1个单位长度,就得到抛物线 $ y = 2x^2 + 1 $；把抛物线 $ y = 2x^2 $ 向下平移1个单位长度,就得到抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $。
(3)观察图象,用类比的方法探讨交流抛物线 $ y = -2x^2 + 1 $,$ y = -2x^2 - 1 $ 与抛物线 $ y = -2x^2 $ 的关系及图象的异同点。

关系：抛物线$y=-2x^2$向上平移1个单位得$y=-2x^2+1$，向下平移1个单位得$y=-2x^2-1$；异同点：开口方向均向下，对称轴均为y轴，形状相同，顶点坐标不同（分别为$(0,1)$、$(0,-1)$、$(0,0)$），位置不同。
【归纳总结】二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象和性质。
(1)填表：

| $a$的取值 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $a＞0$ | 向上 | y轴 | $(0,k)$ |
| $a＜0$ | 向下 | y轴 | $(0,k)$ |
(2)增减性：当 $ a ＞ 0 $ 时,在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ a ＜ 0 $ 时,在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
(3)平移：二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象与函数 $ y = ax^2 $ 的图象形状相同,只是位置不同,它们之间可以通过平移得到。把函数 $ y = ax^2 $ 的图象向上或向下平移 $ |k| $ 个单位长度,可得到 $ y = ax^2 + k $ 的图象,简记为“上加下减”。

答案：
(1)
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $y=2x^2$ | 向上 | y轴 | $(0,0)$ |
| $y=2x^2+1$ | 向上 | y轴 | $(0,1)$ |
| $y=2x^2-1$ | 向上 | y轴 | $(0,-1)$ |
(2)上；1；下；1
(3)关系：抛物线$y=-2x^2$向上平移1个单位得$y=-2x^2+1$，向下平移1个单位得$y=-2x^2-1$；异同点：开口方向均向下，对称轴均为y轴，形状相同，顶点坐标不同（分别为$(0,1)$、$(0,-1)$、$(0,0)$），位置不同。
【归纳总结】
(1)
| $a$的取值 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $a＞0$ | 向上 | y轴 | $(0,k)$ |
| $a＜0$ | 向下 | y轴 | $(0,k)$ |
(2)减小；增大；增大；减小

例 将抛物线 $ y = 3x^2 - 1 $ 向下平移 4 个单位后,所得抛物线是$ y = 3x^2 - 5 $。当 $ x = $0时,该抛物线有最小(填“大”或“小”)值,是-5。

答案： $ y = 3x^2 - 5 $；0；小；-5

变式 1 将抛物线 $ y = 3x^2 - 1 $ 向上平移 4 个单位后,所得抛物线是$y = 3x^{2} + 3$；再向下平移 2 个单位,得到的抛物线是$y = 3x^{2} + 1$。

答案： 答：
对于抛物线 $y = 3x^{2} - 1$ 向上平移 4 个单位：
根据平移规律“上加下减”，新抛物线的解析式为 $y = 3x^{2} - 1 + 4 = 3x^{2} + 3$。
再向下平移 2 个单位：
继续根据平移规律“上加下减”，新抛物线的解析式为 $y = 3x^{2} + 3 - 2 = 3x^{2} + 1$。
故答案为：$y = 3x^{2} + 3$；$y = 3x^{2} + 1$。