《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品。这种产品的成本价为10元/件。已知销售价不低于成本价,物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该产品每天的销售量 $ y $ (单位：件)与销售价 $ x $ (单位：元/件)之间的函数关系如图所示。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围。
(2)求每天的销售利润 $ W $ (单位：元)与销售价 $ x $ 之间的函数解析式,当每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少？

答案：
(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0)。由题意及图像可知，当x=10时，y=30；当x=16时，y=24。将(10,30)，(16,24)代入y=kx+b，得：
$\begin{cases}10k+b=30 \\16k+b=24\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=40\end{cases}$
∴y与x之间的函数解析式为y=-x+40，自变量x的取值范围为10≤x≤16。
(2)销售利润W=(x-10)y，将y=-x+40代入，得：
W=(x-10)(-x+40)=-x²+50x-400
∵a=-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=-$\frac{50}{2×(-1)}$=25
∵10≤x≤16，且在对称轴左侧W随x增大而增大
∴当x=16时，W最大，W最大=-
(16)²+50×16-400=144
∴每天的销售利润W与销售价x之间的函数解析式为W=-x²+50x-400，当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元。

1. 将进货价为70元/件的某种商品,按零售价100元/件出售时,每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定每件降价 $ x $ 元,则单件的利润为 （30-x） 元,每天的销售量为 （20+x） 件,则每天的利润 $ y $ (单位：元)关于 $ x $ (单位：元)的函数解析式是 $ y = $ -x² + 10x + 600（或(30 - x)(20 + x)）,所以每件降价 5 元时,每天获得的利润最大,最大利润为 625 元。

答案： 单件的利润为：$（30-x）$；
每天的销售量为：$（20+x）$；
则每天的利润 $y$ 的函数解析式是：$y= -x^{2} + 10x + 600$（或 $y= (30 - x)(20 + x)$）；
所以每件降价：5；
最大利润为：625。

2. 某商店以20元的单价购进一批商品,如果以单价30元销售,那么半月内可售出400件。市场调查发现：销售单价每提高1元,销售量则减少20件,售价提高 5 元,才能在半月内获得利润最大,最大利润为 4500。

答案： 5，4500

3. 某产品每件的成本是10元,试销阶段每件产品的销售价 $ x $ (单位：元)与产品的日销售量 $ y $ (单位：件)之间的关系如下表：

已知日销售量 $ y $ 是销售价 $ x $ 的一次函数。
(1)求日销售量 $ y $ 与销售价 $ x $ 的函数解析式。
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元？此时最大销售利润是多少？

答案：
(1) 设日销售量 $y$ 与销售价 $x$ 的函数解析式为 $y = kx + b$。
根据表格中的数据，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}25 = 15k + b,\\20 = 20k + b.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -1,\\b = 40.\end{cases}$
因此，日销售量 $y$ 与销售价 $x$ 的函数解析式为 $y = -x + 40$。
(2) 根据题意，每件产品的利润是 $x - 10$ 元，日销售量为 $-x + 40$ 件。
因此，每日的销售利润 $w$ 可以表示为：
$w = (x - 10)(-x + 40) = -x^2 + 50x - 400 = -(x - 25)^2 + 225$。
由于这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，即 $x = 25$。
此时，最大销售利润 $w_{最大} = 225$ 元。
故要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为 25 元，此时最大销售利润是 225 元。

1. 某旅社有100张床位,每床每晚收费100元时,可全部租出。若每床每晚提高20元,则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高20元,则再减少10张床位租出。以每次提高20元的这种方法变化下去,为使投资少而获利大,每床每晚应提高(C)
A.40元或60元
B.40元
C.60元
D.80元

答案： C