《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 1 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示。
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式。
(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(3)这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
(4)要使该二次函数的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,应把该图象沿 $ y $ 轴向上平移几个单位？

答案：
(1) 设抛物线解析式为 $ y = a(x-1)(x-3) $，将点 $ (0,3) $ 代入得 $ 3 = a(0-1)(0-3) $，即 $ 3a = 3 $，解得 $ a = 1 $，故解析式为 $ y = (x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3 $。
(2) 开口向上；对称轴为直线 $ x = 2 $；顶点坐标为 $ (2,-1) $。
(3) 有最小值，最小值是 $ -1 $。
(4) 1 个单位。

例 2 如图,已知抛物线 $ y = \frac{3}{8}x^2 - \frac{3}{4}x - 3 $ 与 $ x $ 轴的交点分别为 $ A $,$ D $($ A $ 在 $ D $ 的右侧),与 $ y $ 轴的交点为 $ C $。
(1)直接写出 $ A $,$ D $,$ C $ 三点的坐标；
(2)若点 $ M $ 在抛物线上,使得 $ \triangle MAD $ 的面积与 $ \triangle CAD $ 的面积相等,求点 $ M $ 的坐标。

答案：
(1)A(4,0)，D(-2,0)，C(0,-3)。
(2)
∵A(4,0)，D(-2,0)，
∴AD=6。△CAD的面积为$\frac{1}{2}×6×3=9$，则△MAD的面积也为9。设M(x,y)，点M到x轴距离为|y|，$\frac{1}{2}×6×|y|=9$，得|y|=3，即y=3或y=-3。
当y=-3时，代入$y=\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x-3$，得$-3=\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x-3$，化简得$\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x=0$，解得x=0或x=2。x=0时为点C，舍去，故M(2,-3)。
当y=3时，代入$y=\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x-3$，得$3=\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x-3$，化简得$x^2-2x-16=0$，解得$x=1±\sqrt{17}$，故M$(1+\sqrt{17},3)$，$(1-\sqrt{17},3)$。
综上，点M的坐标为(2,-3)，$(1+\sqrt{17},3)$，$(1-\sqrt{17},3)$。

1. 已知抛物线的顶点坐标为 $ (-2,4) $,与 $ y $ 轴的交点为 $ (0,3) $,则这个二次函数的解析式是$y =-\frac{1}{4}x^{2}-x + 3$。

答案： $y =-\frac{1}{4}x^{2}-x + 3$

2. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象如图所示,对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $。下列结论中正确的是(D)

A.$ abc ＞ 0 $
B.$ a + b = 0 $
C.$ 2b + c ＞ 0 $
D.$ 4a + c ＜ 2b $

答案： D

3. 用描点法画二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象时,由下表中的信息可知：当 $ x = 3 $ 时,函数值 $ y = $-4。

答案： -4