《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

21. (8 分)如图,点 $ O $ 是菱形 $ ABCD $ 对角线上一点,以点 $ O $ 为圆心,$ OA $ 长为半径的 $ \odot O $ 与 $ BC $ 相切于点 $ M $。
(1)求证：$ CD $ 与 $ \odot O $ 相切；
(2)若 $ \angle B= 60^{\circ} $,$ \odot O $ 的半径为 3,求菱形的边长。

答案：
解:
(1)证明:连接OM,过点O作$ON⊥CD$于点N,
∵ BC与$\odot O$相切于点M.$\therefore OM$是$\odot O$的半径,$OM⊥BC$,
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC平分$∠BCD,$$\because ON⊥CD,\therefore OM=ON$,
∴ CD与$\odot O$相切.
(2)解:
∵ 四边形ABCD是菱形,$\therefore AB// CD,\because ∠B=60^{\circ },\therefore ∠BCD=180^{\circ }-∠B=120^{\circ }$,
∵ AC平分$∠BCD,\therefore ∠OCD=\frac {1}{2}∠BCD=60^{\circ },\because OM⊥BC,\therefore ∠COM=90^{\circ }-∠OCD=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ },\therefore OC=2CM,\because CM^{2}+OM^{2}=OC^{2},\therefore CM^{2}+3^{2}=(2CM)^{2}$,解得$CM=\sqrt {3},$$\therefore OC=2CM=2\sqrt {3},\therefore AC=OA+OC=3+2\sqrt {3},\because AB=BC,∠B=60^{\circ },\therefore \triangle ABC$是等边三角形,$\therefore AB=AC=3+2\sqrt {3}.$

22. (10 分)项目式学习
项目主题：合理设计智慧泉源
项目背景：
洒水车是城市绿化的生力军,清扫道路,美化市容,降温除尘,方便出行。
如图 1,一辆洒水车正在沿着公路行驶(平行于绿化带),为绿化带浇水。数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离,才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带。围绕这个问题,该小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习。
任务一：测量建模
建立如图 2 所示的平面直角坐标系,可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象,喷水口 $ H $ 离地面竖直高度 $ h $ 为 1.2 米。上边缘抛物线最高点 $ A $ 离喷水口的水平距离为 2 米,高出喷水口 0.4 米。
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时,喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变,即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,把绿化带横截面抽象为矩形 $ DEFG $,其水平宽度 $ DE= 1.8 $ 米,竖直高度 $ EF= 1.1 $ 米,洒水车到绿化带的距离 $ OD $ 为 $ d $ 米。
(2)求下边缘抛物线与 $ x $ 轴交点 $ B $ 的坐标；
(3)若 $ d= 2.2 $ 米,则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由。

答案： 解:
(1)由题意得:$A(2,1.6)$为上边缘抛物线的顶点,设$y=a(x-2)^{2}+1.6$,又
∵ 抛物线过点$(0,1.2),\therefore 1.2=4a+1.6$,解得$a=-0.1$,
∴ 上边缘抛物线的函数解析式为$y=-0.1(x-2)^{2}+1.6.$
(2)
∵ 对称轴为直线$x=2$,
∴ 点$(0,1.2)$的对称点为$(4,1.2)$,
∴ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的,当$y=0$时,$0=-0.1(x-2)^{2}+1.6$.解得$x_{1}=6,x_{2}=-2$(舍去),$\therefore 6-4=2.$
∴ 点B的坐标为$(2,0)$;
(3)
∵ 矩形DEFG,其水平宽度$DE=1.8$米,竖直高度$EF=1.1$米,$\therefore OD=d=2.2$米,则$2.2+1.8=4$(米),
∴ 点F的坐标为$(4,1.1)$,当$x=4$时,$y=-0.1(4-2)^{2}+1.6=1.2＞1.1$,当$x＞2$时,y随x的增大而减小,
∴ 洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带.