《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 在菱形 $ ABCD $ 中,$ \angle A = 60° $,$ AB = 12 $,点 $ M $ 在边 $ AB $ 上,且 $ BM = 3 $,点 $ P $ 是 $ AD $ 上一动点,连接 $ MP $ 并将 $ MP $ 绕点 $ M $ 顺时针旋转 $ 60° $ 得到 $ MN $,连接 $ BN $,则线段 $ BN $ 的最小值为$\frac{9}{2}\sqrt{3}$。

答案： $\frac{9}{2}\sqrt{3}$

2. 如图,$ E $ 是正方形 $ ABCD $ 的边 $ DC $ 上一点,把 $ \triangle ADE $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90° $ 到 $ \triangle ABF $ 的位置。若四边形 $ AECF $ 的面积为 25,$ DE = 2 $,则 $ AE $ 的长为(D)

A.5
B.$ \sqrt{23} $
C.7
D.$ \sqrt{29} $

答案： D

3. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形,顶角 $ \angle BAC = \alpha (\alpha ＜ 60°) $,$ D $ 是 $ BC $ 边上的一点,连接 $ AD $,线段 $ AD $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ \alpha $ 到 $ AE $,过点 $ E $ 作 $ BC $ 的平行线,交 $ AB $ 于点 $ F $。连接 $ DE $,$ BE $,$ DF $。
(1) 求证：$ BE = CD $。
(2) 若 $ AD \perp BC $,试判断四边形 $ BDFE $ 的形状,并给出证明。

答案：
(1)证明:
∵△ABC是等腰三角形,顶角∠BAC=α(α＜60°),线段AD绕点A顺时针旋转α到AE,
∴AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC,
∴∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAE=∠CAD,\\ AE=AD,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴BE=CD.
(2)解:四边形BDFE为菱形.
证明如下:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,∠BAE=∠BAD,
∴BE=BD=CD.
在△ABD和△ABE中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AD,\\ ∠BAE=∠BAD,\\ AB=AB,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ABE(SAS).
∴∠DBF=∠EBF.
∵EF//BC,
∴∠DBF=∠EFB.
∴∠EBF=∠EFB.
∴EB=EF=BD.
∴四边形BDFE为平行四边形.
∵EF=EB,
∴四边形BDFE为菱形.

1. 如图,下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是(B)

答案： B

2. 两个边长为1的正方形,如图所示,让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合,不难知道重合部分的面积为$\frac{1}{4}$.现把其中一个正方形固定不动,另一个正方形绕其中心旋转,问:在旋转过程中,两个正方形重叠部分面积是否发生变化? 请说明理由.

答案： 在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积不发生变化，仍为$\frac{1}{4}$。理由如下：
1. 设固定正方形为$ABCD$，中心为$O$，面积为$1$。连接$OA$、$OB$，则$OA=OB$，$\angle OAB=\angle OBA=45°$，$\angle AOB=90°$，$\triangle OAB$面积为$\frac{1}{4}$（正方形面积的四分之一）。
2. 另一个正方形绕$O$旋转任意角度，设其边与$AB$交于$E$，与$BC$交于$F$。由于旋转正方形的边互相垂直，可得$\angle EOF=90°$。
3. 因为$\angle AOB=\angle EOF=90°$，所以$\angle AOE+\angle EOB=\angle BOF+\angle EOB$，即$\angle AOE=\angle BOF$。
4. 在$\triangle OAE$和$\triangle OBF$中：$\angle OAE=\angle OBF=45°$，$OA=OB$，$\angle AOE=\angle BOF$，故$\triangle OAE\cong\triangle OBF$（ASA），则$S_{\triangle OAE}=S_{\triangle OBF}$。
5. 重叠部分面积$=S_{\triangle OAB}-S_{\triangle OAE}+S_{\triangle OBF}=S_{\triangle OAB}=\frac{1}{4}$。
综上，旋转过程中重叠部分面积不变，为$\frac{1}{4}$。
结论：重叠部分面积不发生变化。