《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 2 已知方程 $ (x - 1)^{2}= m^{2}+2 $ 的一个根是 $ x= 3 $。求 $ m $ 的值和另一个根。

答案： 答：将$x = 3$代入方程$(x - 1)^{2} = m^{2} + 2$，
得$(3 - 1)^{2} = m^{2} + 2$，
$4 = m^{2} + 2$，
$m^{2} = 2$，
解得$m = \pm \sqrt{2}$。
原方程为$(x - 1)^{2} = 4$（因为$m^{2}=2$，所以$m^{2}+2 = 4$），
则$x - 1 = \pm 2$，
当$x - 1 = 2$时，$x = 3$；
当$x - 1 = -2$时，$x = -1$。
所以$m$的值为$\pm \sqrt{2}$，另一个根为$x = -1$。

1. 下列解方程的过程,正确的是( )

A.$ x^{2}= -2 $,解方程得 $ x= \pm\sqrt{2} $
B.$ (x - 2)^{2}= 4 $,解方程得 $ x - 2= 2 $,$ x= 4 $
C.$ 4(x - 1)^{2}= 9 $,解方程得 $ 4(x - 1)= \pm3 $,$ x_{1}= \frac{1}{4} $,$ x_{2}= \frac{7}{4} $
D.$ (2x + 3)^{2}= 25 $,解方程得 $ 2x + 3= \pm5 $,$ x_{1}= 1 $,$ x_{2}= -4 $

答案： D

2. 解下列方程：
(1) $ 3x^{2}-27= 0 $；
(2) $ (2t - 1)^{2}= 16 $；

答案：
(1)
$3x^{2} - 27 = 0$，
移项得：
$3x^{2} = 27$，
两边同时除以3得：
$x^{2} = 9$，
开方得：
$x = \pm 3$。
(2)
$(2t - 1)^{2} = 16$，
开方得：
$2t - 1 = \pm 4$，
当$2t - 1 = 4$时，
$2t = 5$，
$t = \frac{5}{2}$；
当$2t - 1 = -4$时，
$2t = -3$，
$t = -\frac{3}{2}$。

1. 方程 $ 3x^{2}+9= 0 $ 的根为( )

A.3
B.-3
C.$ \pm3 $
D.无实数根

答案： D

2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}= m $ 的解为有理数,则实数 $ m $ 不能是下列四个数中的( )

A.4
B.144
C.$ 2\frac{1}{4} $
D.$ \frac{1}{8} $

答案： D

3. 若 $ 8x^{2}-16= 0 $,则 $ x $ 的值是______。

答案： ±√2

4. 一元二次方程 $ (x - 3)^{2}= 1 $ 的两个解恰好分别是等腰 $ \triangle ABC $ 的底边长和腰长,则其周长为______。

答案： 10

5. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $ (2 - x)^{2}= 4 $；
(2) $ x^{2}-\sqrt{64}= 0 $；
(3) $ 2(1 - x)^{2}-18= 0 $。

答案： $(1)$ 解方程$(2 - x)^{2}= 4$
解：
根据直接开平方法，若$a^2 = b$（$b\geq0$），则$a=\pm\sqrt{b}$。
对于方程$(2 - x)^{2}= 4$，可得$2 - x=\pm\sqrt{4}$，即$2 - x=\pm2$。
当$2 - x = 2$时，
移项可得$-x=2 - 2$，即$-x = 0$，解得$x = 0$。
当$2 - x=-2$时，
移项可得$-x=-2 - 2$，即$-x=-4$，解得$x = 4$。
所以$x_1 = 0$，$x_2 = 4$。
$(2)$ 解方程$x^{2}-\sqrt{64}= 0$
解：
先化简$\sqrt{64}=8$，则原方程变为$x^{2}-8 = 0$，移项得$x^{2}=8$。
根据直接开平方法，$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
所以$x_1 = 2\sqrt{2}$，$x_2 = -2\sqrt{2}$。
$(3)$ 解方程$2(1 - x)^{2}-18= 0$
解：
首先对原方程进行变形：
移项可得$2(1 - x)^{2}=18$，
两边同时除以$2$得$(1 - x)^{2}=9$。
根据直接开平方法，$1 - x=\pm\sqrt{9}$，即$1 - x=\pm3$。
当$1 - x = 3$时，
移项可得$-x=3 - 1$，即$-x = 2$，解得$x=-2$。
当$1 - x=-3$时，
移项可得$-x=-3 - 1$，即$-x=-4$，解得$x = 4$。
所以$x_1=-2$，$x_2 = 4$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{x_1 = 0,x_2 = 4}$；$(2)$$\boldsymbol{x_1 = 2\sqrt{2},x_2 = -2\sqrt{2}}$；$(3)$$\boldsymbol{x_1=-2,x_2 = 4}$。