《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + 3 (a \neq 0) $。
求出抛物线的对称轴；
把抛物线沿 $ y $ 轴向下平移 $ 3|a| $ 个单位长度,若抛物线的顶点落在 $ x $ 轴上,求 $ a $ 的值；
设点 $ P(a, y_1), Q(2, y_2) $ 在抛物线上,若 $ y_1 ＞ y_2 $,求 $ a $ 的取值范围。

答案：
(1)直线x = 1;
(2)a = $\frac{3}{4}$或a = -$\frac{3}{2}$;
(3)a ＞ 2

1. 二次函数 $ y = -2(x + 1)^2 + 4 $ 的图象的开口方向向下,顶点坐标是(-1,4),对称轴是直线x=-1。当 $ x $＜-1时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $＞-1时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小；当 $ x = $-1时,函数有最大值,最大值是4。

答案： 向下；(-1,4)；直线x=-1；＜-1；＞-1；-1；大；大；4

2. 二次函数的一般式是$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$,顶点坐标是______$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}\right)$,对称轴是______直线$x=-\dfrac{b}{2a}$。

答案： 二次函数的一般式是$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$，顶点坐标是$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}\right)$，对称轴是直线$x=-\dfrac{b}{2a}$。

3. 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：
①设：设出二次函数解析式的一般形式 $y = ax^{2} + bx + c$（$a\neq 0$）；
②代：把已知条件（通常是三组 $x$，$y$ 的对应值或三个点的坐标）代入解析式，得到关于 $a$，$b$，$c$ 的方程组；
③解：解这个方程组，求出 $a$，$b$，$c$ 的值；
④写：把求得的 $a$，$b$，$c$ 的值代入所设的解析式中，写出二次函数的解析式。

答案： ①设：设出二次函数解析式的一般形式 $y = ax^{2} + bx + c$（$a\neq 0$）；
②代：把已知条件（通常是三组 $x$，$y$ 的对应值或三个点的坐标）代入解析式，得到关于 $a$，$b$，$c$ 的方程组；
③解：解这个方程组，求出 $a$，$b$，$c$ 的值；
④写：把求得的 $a$，$b$，$c$ 的值代入所设的解析式中，写出二次函数的解析式。

求分别满足下列条件的二次函数解析式。
(1)抛物线与 $ x $ 轴交点的横坐标分别为 -5 和 1,与 $ y $ 轴交于点 $ (0,5) $；
(2)抛物线与 $ x $ 轴只有一个公共点 $ (2,0) $,并且与 $ y $ 轴交于点 $ (0,2) $；
(3)当 $ x = 2 $ 时,$ y_{最小值} = -4 $,且图象过原点。

答案：
(1)
设抛物线的交点式 $y = a(x + 5)(x - 1)$。
把点 $(0,5)$ 代入得：$5 = a(0 + 5)(0 - 1)$，
即 $5 = -5a$，
解得 $a = -1$。
所以 $y = -(x + 5)(x - 1) = -x^{2} - 4x + 5$。
(2)
由题意，抛物线的顶点式为 $y = a(x - 2)^{2}$。
把点 $(0,2)$ 代入得：$2 = a(0 - 2)^{2}$，
即 $2 = 4a$，
解得 $a = \frac{1}{2}$。
所以 $y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} = \frac{1}{2}x^{2} - 2x + 2$。
(3)
由题意，抛物线的顶点式为 $y = a(x - 2)^{2} - 4$。
因为图象过原点，把点 $(0,0)$ 代入得：$0 = a(0 - 2)^{2} - 4$，
即 $0 = 4a - 4$，
解得 $a = 1$。
所以 $y = (x - 2)^{2} - 4 = x^{2} - 4x$。