《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 在前面几册教科书中,我们学习了在平面直角坐标系中如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换,相似也是一种图形的变换,一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.
(1) 如图,在平面直角坐标系中有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为$\frac{1}{3}$,把线段AB缩小,观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现？

(2) 如图,△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0),以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现？

【归纳总结】在平面直角坐标中,如果以原点为位似中心,新图形与原图形的相似比为k,那么原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

答案：
(1) 点A(6,3)对应点坐标为(2,1)或(-2,-1)；点B(6,0)对应点坐标为(2,0)或(-2,0)。发现：原图形上点(x,y)对应位似图形上点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，其中k=1/3。
(2) 点A(4,4)对应点坐标为(8,8)或(-8,-8)；点O(0,0)对应点坐标为(0,0)；点C(5,0)对应点坐标为(10,0)或(-10,0)。发现：原图形上点(x,y)对应位似图形上点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，其中k=2。

例 如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0),以原点O为位似中心画一个三角形,使它与△ABO的相似比为$\frac{3}{2}$.

分析：由于要画的图形是三角形,所以关键是确定它的各顶点坐标. 根据前面总结的规律,点A的对应点A'的坐标为(-2×$\frac{3}{2}$,4×$\frac{3}{2}$),即(-3,6). 类似地,可以确定其他顶点的坐标.

答案： 以原点$O$为位似中心，相似比为$\frac{3}{2}$，分两种情况：
情况一：位似图形在位似中心同侧
设$\triangle A'B'O$为所求三角形，根据位似变换性质，若点$A(-2,4)$，$B(-2,0)$，$O(0,0)$，则$A'$的坐标为$(-2×\frac{3}{2},4×\frac{3}{2})$，即$A'(-3,6)$；$B'$的坐标为$(-2×\frac{3}{2},0×\frac{3}{2})$，即$B'(-3,0)$；$O$点不变仍为$(0,0)$。
情况二：位似图形在位似中心异侧
设$\triangle A''B''O$为所求三角形，此时对应点坐标为原坐标乘以$-\frac{3}{2}$。
$A''$的坐标为$(-2×(-\frac{3}{2}),4×(-\frac{3}{2}))$，即$A''(3, - 6)$；$B''$的坐标为$(-2×(-\frac{3}{2}),0×(-\frac{3}{2}))$，即$B''(3,0)$；$O$点为$(0,0)$。
综上，所求三角形顶点坐标为$A'(-3,6)$，$B'(-3,0)$，$O(0,0)$或$A''(3, - 6)$，$B''(3,0)$，$O(0,0)$。在坐标系中描出对应点，顺次连接即可得到所求三角形。

1. 如图,已知△AOB和把它缩小后得到的△COD,求△AOB与△COD的相似比和面积比.

答案： 由图可知，点O为位似中心，△COD是△AOB缩小后得到的位似图形。
在平面直角坐标系中，位似图形的对应点的坐标比等于相似比。
观察可得：A点坐标为(3,5)，C点坐标为(1,2)；B点坐标为(6,0)，D点坐标为(2,0)。
计算对应点的横坐标比：OA对应OC，A点横坐标为3，C点横坐标为1，所以相似比k = OA/OC = 3/1 = 3。
（或计算OB对应OD，B点横坐标为6，D点横坐标为2，相似比k = OB/OD = 6/2 = 3）
位似图形的面积比等于相似比的平方，所以面积比为k² = 3² = 9。
综上，△AOB与△COD的相似比为3，面积比为9。