《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 用适当的方法解下列方程：
(1) $ (3x-1)^{2}-1= 0 $;
(2) $ (3x-2)^{2}= x^{2} $;
(3) $ (x+3)(x-6)= -8 $;
(4) $ 3x^{2}-6x+4= 0 $;
(5) $ x(x+2)= x+2 $.

答案： 1.
(1)$x_{1}=\frac {2}{3},x_{2}=0$;
(2)$x_{1}=1,x_{2}=\frac {1}{2}$;
(3)$x_{1}=-2,x_{2}=5$;
(4)无实数根;
(5)$x_{1}=-2,x_{2}=1$.

2. 对于一元二次方程 $ 2x^{2}-3x+4= 0 $,该方程根的情况为(A)
A.没有实数根
B.两根之和是3
C.两根之积是-2
D.有两个不相等的实数根

答案： 2.A

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(2m+1)x+m-2= 0 $.
(1) 求证：不论 $ m $ 取何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程有两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}+x_{2}+3x_{1}x_{2}= 1 $,求 $ m $ 的值.

答案： $(1)$ 证明方程总有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(2m + 1)x + m - 2 = 0$中，$a = 1$，$b=-(2m + 1)$，$c = m - 2$。
则$\Delta =[-(2m + 1)]^{2}-4×1×(m - 2)$
$=4m^{2}+4m + 1-4m + 8$
$=4m^{2}+9$。
因为$m^{2}\geqslant0$，所以$4m^{2}+9＞0$，即$\Delta＞0$。
所以，不论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求$m$的值
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则有$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-(2m + 1)x + m - 2 = 0$中，$x_{1}+x_{2}=2m + 1$，$x_{1}x_{2}=m - 2$。
已知$x_{1}+x_{2}+3x_{1}x_{2}=1$，将$x_{1}+x_{2}=2m + 1$，$x_{1}x_{2}=m - 2$代入可得：
$(2m + 1)+3(m - 2)=1$
去括号得：$2m + 1+3m - 6 = 1$
移项得：$2m+3m=1 + 6 - 1$
合并同类项得：$5m=6$
系数化为$1$得：$m=\frac{6}{5}$。
综上，$(1)$ 证明见上述过程；$(2)$$m$的值为$\boldsymbol{\frac{6}{5}}$。

4. 若正数 $ a $ 是一元二次方程 $ x^{2}-5x+m= 0 $ 的一个根,-a 是一元二次方程 $ x^{2}+5x-m= 0 $ 的一个根,则 $ a $ 的值是5.

答案： 5

2. 阅读下面的解题过程：
我们知道 $ x^{2}+6x+9 $ 可以分解因式,结果为 $ (x+3)^{2} $. 其实 $ x^{2}+6x+8 $ 也可以通过配方法分解因式,其过程如下：
$ x^{2}+6x+8= x^{2}+6x+9-9+8 $
$ =(x+3)^{2}-1 $
$ =(x+3+1)(x+3-1) $
$ =(x+4)(x+2) $.
(1) 请仿照上述过程填空：
$ x^{2}+4x-5= [x+(\underline{-1})][x+(\underline{5})] $;
$ x^{2}-5x+6= [x+(\underline{-2})][x+(\underline{-3})] $;
$ x^{2}-8x-9= [x+(\underline{1})][x+(\underline{-9})] $.
(2) 请观察(1)中横线上所填的数,每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系?
所填的两个数的和等于一次项系数,两个数的积等于常数项.

答案： 2.
(1)-1 5 -2 -3 1 -9;
(2)所填的两个数的和等于一次项系数,两个数的积等于常数项.