《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例1 下列说法中正确的是(D)
A.所有的平行四边形都相似
B.所有的矩形都相似
C.所有的菱形都相似
D.所有的正方形都相似

答案： D

例2 在如图所示的三个矩形中,相似的是(B)

A.①②
B.①③
C.②③
D.没有相似的矩形

答案： B

例3 已知四边形$ABCD与四边形A_1B_1C_1D_1$相似,且$A_1B_1:B_1C_1:C_1D_1:D_1A_1= 7:8:11:14$。若四边形$ABCD$的周长为40,求四边形$ABCD$的各边的长。
分析：因为两个四边形相似,因此可根据相似多边形的对应边成比例来解题。

答案： 四边形$ABCD$各边长分别为7,8,11,14。

1. 如图,$DE// BC$,求$\frac{AD}{AB}$,$\frac{DE}{BC}$,$\frac{AE}{AC}$的值。

答案：
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∵ AD=2，DB=4，
∴ AB=AD+DB=2+4=6，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
∵ △ADE∽△ABC，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。

2. 如图,两个直角三角形相似吗？为什么？

答案： 两个直角三角形相似。理由如下：
1. 两个三角形均为直角三角形，故都有一个角为90°。
2. 第一个直角三角形两直角边均为5，设其锐角为α，则tanα=5/5=1，故α=45°。
3. 第二个直角三角形两直角边均为10，设其锐角为β，则tanβ=10/10=1，故β=45°。
4. 两三角形对应角相等（90°，45°，45°），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得两直角三角形相似。