《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例1 小明编辑了一条短信,呼吁大家支援灾区,把它发给若干人,每个收到短信的人又给相同数量的其他人发了这条短信.此时,收到这条短信的人共156人,你能求出小明给多少人发了这条短信吗?
分析:设小明给 $ x $ 个人发了这条短信,小明发给 $ x $ 人后,此时收到短信的有 $ x $ 人,这 $ x $ 人发送短信后,又有$ x^2 $人收到短信.根据题意,列方程为$ x + x^2 = 156 $,解得 $ x_1 = $12, $ x_2 = $-13.(注意检验)

答案： 设小明给 $ x $ 个人发了这条短信。
小明发给 $ x $ 人后，此时收到短信的有 $ x $ 人；这 $ x $ 人每人给 $ x $ 个其他人发了短信，又有 $ x^2 $ 人收到短信。
根据收到短信的总人数为156人，列方程为 $ x + x^2 = 156 $。
整理得 $ x^2 + x - 156 = 0 $。
解得 $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 × 156}}{2} = \frac{-1 \pm 25}{2} $，即 $ x_1 = 12 $，$ x_2 = -13 $。
检验：$ x_2 = -13 $ 不符合实际意义，舍去。
$ x^2 $；$ x + x^2 = 156 $；12；-13。
答：小明给12人发了这条短信。

例2 某地区开展“科技下乡”活动三年,接受科技培训的人员累计达95万人次.其中第一年培训了20万人次.求每年接受科技培训的人次的平均增长率.
分析:本题中的等量关系为“第一年培训人次+第二年培训人次+第三年培训人次= 95万”.

答案： 设每年接受科技培训的人次的平均增长率为$x$。
根据题意，第一年培训20万人次，第二年培训$20(1+x)$万人次，第三年培训$20(1+x)^2$万人次，三年累计95万人次，可列方程：
$20 + 20(1+x) + 20(1+x)^2 = 95$
化简方程：
两边同除以5得：$4 + 4(1+x) + 4(1+x)^2 = 19$
展开并整理：$4 + 4 + 4x + 4(1 + 2x + x^2) = 19$
$8 + 4x + 4 + 8x + 4x^2 = 19$
$4x^2 + 12x + 12 - 19 = 0$
$4x^2 + 12x - 7 = 0$
解一元二次方程$4x^2 + 12x - 7 = 0$，其中$a=4$，$b=12$，$c=-7$，判别式$\Delta = 12^2 - 4×4×(-7) = 144 + 112 = 256$
$x = \frac{-12 \pm \sqrt{256}}{2×4} = \frac{-12 \pm 16}{8}$
解得：$x_1 = \frac{4}{8} = 0.5$，$x_2 = \frac{-28}{8} = -3.5$（增长率不能为负，舍去）
$x = 0.5 = 50\%$
答：每年接受科技培训的人次的平均增长率为50%。

1. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件.如果全组有 $ x $ 名同学,那么根据题意列出的方程是(B)
A.$ x(x + 1) = 182 $
B.$ x(x - 1) = 182 $
C.$ 2x(x + 1) = 182 $
D.$ x(1 - x) = 182 × 2 $

答案： B

2. 某校举办的篮球比赛中,有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,共有多少支队伍参加比赛?(B)
A.8
B.10
C.7
D.9

答案： B

3. 某种商品原来每件售价为150元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为96元.设平均每次降价的百分率为 $ x $,根据题意,所列方程正确的是(C)
A.$ 150(1 - x^2) = 96 $
B.$ 150(1 - x) = 96 $
C.$ 150(1 - x)^2 = 96 $
D.$ 150(1 - 2x) = 96 $

答案： C

4. 一台电视机成本价为 $ a $ 元,销售价比成本价增加25%.因库存积压,所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为(B)
A.$ (1 + 25\%)(1 + 70\%)a $ 元
B.$ 70\%(1 + 25\%)a $ 元
C.$ (1 + 25\%)(1 - 70\%)a $ 元
D.$ (1 + 25\% + 70\%)a $ 元

答案： B

5. 有一个人患了流感,经过两轮传染后共有81个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染几个人?设每轮传染中平均一个人传染 $ x $ 个人,可列方程为(D)
A.$ 1 + 2x = 81 $
B.$ 1 + x^2 = 81 $
C.$ 1 + x + x^2 = 81 $
D.$ 1 + x + x(1 + x) = 81 $

答案： D