《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 右图是反比例函数 $ y = \frac{m - 5}{x} $ 的图象的一支,根据图象回答下列问题:

(1) 图象的另一支位于哪个象限? 常数 $ m $ 的取值范围是什么?
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 $ A(x_1,y_1) $ 和点 $ B(x_2,y_2) $,如果 $ x_1 ＞ x_2 $,那么 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 有怎样的大小关系?

答案：
(1) 因为反比例函数的图象是双曲线，且已知一支位于第二象限，所以另一支位于第四象限。对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。此函数中$k = m - 5$，所以$m - 5＜0$，即$m＜5$。
(2) 由
(1)知函数图象位于第二、四象限，在每一支上，$y$随$x$的增大而增大。因为点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$在同一支上，且$x_1＞x_2$，所以$y_1＞y_2$。
(1) 另一支位于第四象限，$m＜5$；
(2)$y_1＞y_2$

变式1 在 $ y = - \frac{3}{x} $ 图象上有点 $ (-1,y_1) $,$ (1,y_2) $,$ (2,y_3) $ 那么 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系是$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$.

答案： 答题卡：
将 $x = -1$ 代入 $y = -\frac{3}{x}$，得 $y_1 = -\frac{3}{-1} = 3$。
将 $x = 1$ 代入 $y = -\frac{3}{x}$，得 $y_2 = -\frac{3}{1} = -3$。
将 $x = 2$ 代入 $y = -\frac{3}{x}$，得 $y_3 = -\frac{3}{2} = -1.5$。
比较 $y_1, y_2, y_3$ 的大小，得 $y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$，即 $-3 ＜ -1.5 ＜ 3$。
故答案为：$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。

变式2 若点 $ A(-5,y_1) $,$ B(1,y_2) $,$ C(2,y_3) $ 在反比例函数 $ y = - \frac{a^2 + 1}{x} $($ a $ 为常数)的图象上,则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系是$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$.(用“$＜$”连接)

答案： 1. 分析反比例函数性质：对于函数$y = -\frac{a^2 + 1}{x}$，因为$a^2 \geq 0$，所以$a^2 + 1 \geq 1 ＞ 0$，则$-(a^2 + 1) ＜ 0$，故该函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
2. 确定各点所在象限及函数值：
点$A(-5, y_1)$，$x=-5 ＜ 0$，位于第二象限，$y_1 ＞ 0$。
点$B(1, y_2)$，$x=1 ＞ 0$，位于第四象限，$y_2 ＜ 0$。
点$C(2, y_3)$，$x=2 ＞ 0$，位于第四象限，$y_3 ＜ 0$。
3. 比较第四象限内点的函数值：在第四象限，$y$随$x$的增大而增大，因为$1 ＜ 2$，所以$y_2 ＜ y_3$。
4. 综合比较大小：$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$

2. 如图,$ A $,$ C $ 是函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的图象上任意两点,过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线,垂足为点 $ B $,过点 $ C $ 作 $ CD $ 垂直 $ y $ 轴于点 $ D $,记 $ Rt\triangle AOB $ 的面积为 $ S_1 $,$ Rt\triangle COD $ 的面积为 $ S_2 $,则(C)

A.$ S_1 ＞ S_2 $
B.$ S_1 ＜ S_2 $
C.$ S_1 = S_2 $
D.$ S_1 $ 与 $ S_2 $ 的大小关系无法确定

答案： C

1. 如图,正比例函数 $ y = x $ 与反比例函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的图象相交于 $ A $,$ B $ 两点,$ BC \perp x $ 轴于点 $ C $,则 $ \triangle ABC $ 的面积为(A)

A.1
B.2
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ \frac{5}{2} $

答案： A

2. 如图,过 $ x $ 轴上任意点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线,分别与反比例函数 $ y = \frac{3}{x}(x ＞ 0) $,$ y = - \frac{6}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于 $ A $ 点和 $ B $ 点. 连接 $ AO $,$ BO $,则 $ \triangle ABO $ 的面积为$\frac{9}{2}$ (或填写 $4.5$).

答案： $\frac{9}{2}$ (或填写 $4.5$)

1. 以正方形 $ ABCD $ 两条对角线的交点 $ O $ 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象经过点 $ D $,则正方形 $ ABCD $ 的面积为(B)


A.12
B.16
C.18
D.20

答案： B

2. 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ (2,5) $. 若点 $ (1,n) $ 在反比例函数图象上,则 $ n $ 等于(A)
A.10
B.5
C.2
D.$ - 6 $

答案： A

3. 已知正比例函数 $ y = k_1x(k_1 \neq 0) $ 与反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x}(k_2 \neq 0) $ 的图象有一个交点的坐标为 $ (-2, -1) $,则它的另一个交点的坐标是(A)
A.$ (2,1) $
B.$ (-2, -1) $
C.$ (-2,1) $
D.$ (2, -1) $

答案： A