《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 解下列方程:
(1) $ 1 + x + x(1 + x) = 121 $;
(2) $ 5000(1 - x)^2 = 3000 $.

答案：
(1)
$1 + x + x(1 + x) = 121$
左边因式分解：$(1 + x)(1 + x) = 121$
即$(1 + x)^2 = 121$
开平方：$1 + x = \pm 11$
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = -12$
(2)
$5000(1 - x)^2 = 3000$
两边同除以5000：$(1 - x)^2 = 0.6$
开平方：$1 - x = \pm \sqrt{0.6} = \pm \frac{\sqrt{15}}{5}$
解得：$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{15}}{5}$，$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{15}}{5}$

2. 教科书第19页探究1中解方程的一般方法是什么?

答案： 设未知数，根据题意列出一元二次方程，化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），然后利用因式分解法（或配方法、公式法）解方程，检验方程的解是否符合实际意义，最后作答。

3. 对类似传播问题中的数量关系,你是怎样认识的?

答案： 在类似传播问题的数量关系中，通常可以建立以下认识：
设每轮传播中，每个主体传播给$x$个其他主体，初始有$y$个主体。
第一轮传播后，总数为$y + yx = y(1 + x)$；
第二轮传播后，总数为$y(1 + x) + yx(1 + x) = y(1 + x)^{2}$；
以此类推，经过$n$轮传播后，总数可以表示为$y(1 + x)^{n}$。
这种数量关系是基于一元二次方程（或更一般地，指数方程）的建模，用于描述传播过程中的数量增长。
最终，可以得出传播问题中的数量关系一般形式为：初始数量乘以$(1 + 每轮传播数)^{轮数}$。

4. 如何理解下降额与下降率? 它们之间的联系与区别是什么?

答案： 下降额：表示具体减少的数量，是一个绝对数值，计算公式为下降额=原来的量-现在的量。
下降率：表示下降的幅度，是一个相对比例（通常用百分数表示），计算公式为下降率=（下降额÷原来的量）×100%。
联系：下降率通过下降额与原来的量计算得出，下降额=原来的量×下降率。
区别：下降额是具体数值，单位与原来的量相同；下降率是比例，无单位，反映变化的相对程度。

5. 总结列一元二次方程解应用题的一般步骤.

答案： 1. 审题：理解题意，明确已知量和未知量，找出题目中的等量关系。
2. 设元：设未知数，一般设所求问题中的量为未知数，可直接设元或间接设元。
3. 列方程：根据等量关系列出一元二次方程。
4. 解方程：求出所列方程的解。
5. 检验：检验方程的解是否符合实际意义，即是否为原问题的解。
6. 作答：写出答案，回答题目所问。

探究1:有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染 $ x $ 个人.
(1) 开始有一个人患病,第一轮的传染源就是这个人,他传染了 $ x $ 个人,第一轮后共有$1 + x$个人患病.
(2) 在第二轮中,有$1 + x$个人是传染源,因为一人传染 $ x $ 个人,所以第二轮后共有$(1 + x)^2$个人患病.
(3) 根据题目中的等量关系,可以列方程:$(1 + x)^2 = 121$.
(4) 解此方程,得 $ x_1 = $10, $ x_2 = $-12.
(5) 思考并讨论:解完此方程后是否还要验根?
若按这样的速度,三轮传染后有多少人患流感?
需要验根，$x_2=-12$不符合实际意义，应舍去。三轮传染后患流感的人数为$(1+x)^3=(1+10)^3=1331$人。

答案：
(1) 第一轮后共有 $1 + x$ 个人患病。
(2) 在第二轮中，有 $1 + x$ 个人是传染源，第二轮后共有 $(1 + x)^2$ 个人患病。
(3) 根据题意，列方程：$(1 + x)^2 = 121$。
(4) 解方程：
$1 + x = \pm 11$，
$x_1 = 10$，$x_2 = -12$（舍去）。
(5) 需要验根，$x_2 = -12$ 不符合实际意义，舍去。
若三轮传染后，患病人数为 $(1 + x)^3 = (1 + 10)^3 = 1331$。
答：
(1) $1 + x$
(2) $1 + x$，$(1 + x)^2$
(3) $(1 + x)^2 = 121$
(4) $x_1 = 10$，$x_2 = -12$
(5) 需要验根，三轮传染后共有 $1331$ 人患病。

探究2:两年前生产1t甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步,现在生产1t甲种药品的成本是3000元,生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000元;乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200元.虽然乙种药品成本的年平均下降额较大,但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).
设甲种药品成本的年平均下降率为 $ x $,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)²元.
依题意得 $ 5000(1 - x)^2 = 3000 $.
解方程,得 $ x_1 \approx 0.225 $, $ x_2 \approx 1.775 $(不合题意,舍去).
故甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
根据下表,求出乙种药品的年平均下降率,并比较哪种药品的年平均下降率大.

请解出上述方程.
思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较几个对象的变化状况?(经计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较下降前及下降后的价格)
小结:类似地,这种增长率的问题在实际生活普遍存在,并有一定的规律.
若平均增长(或降低)百分率为 $ x $,增长(或降低)前的量是 $ a $,增长(或降低) $ n $ 次后的量是 $ b $,则它们的数量关系可表示为 $ a(1 \pm x)^n = b $(其中增长取“+”,降低取“-”).
设乙种药品成本的年平均下降率为$y$，根据题意得：
$6000(1 - y)^2 = 3600$
方程两边同时除以6000得：$(1 - y)^2 = 0.6$
开平方得：$1 - y = \pm\sqrt{0.6}$
因为下降率不能大于1，所以$1 - y = \sqrt{0.6}\approx0.7746$
解得：$y\approx1 - 0.7746 = 0.225$，即$y\approx22.5\%$
所以乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%。
结论：甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%。成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较下降前及下降后的价格来全面比较几个对象的变化状况。

答案： 乙种药品成本相关计算：
两年前1t乙种药品成本：6000元
一年后乙种药品成本：$6000(1 - y)$元（设年平均下降率为$y$）
两年后乙种药品成本：3600元
列出一元二次方程：$6000(1 - y)^2 = 3600$
解方程：
$\begin{aligned}6000(1 - y)^2 &= 3600 \\(1 - y)^2 &= \frac{3600}{6000} = 0.6 \\1 - y &= \sqrt{0.6} \approx 0.7746 \quad (负值舍去) \\y &\approx 1 - 0.7746 = 0.225\end{aligned}$
故乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%。
结论：
甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同（均约为22.5%）。
成本下降额较大的药品，其成本下降率不一定较大，需综合比较下降前后的成本及下降率。