《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 已知 $ x^{2}+y^{2}+4x - 6y + 13= 0 $,$ x $,$ y $ 为实数,则 $ x= $-2,$ y= $3。

答案： -2 3

2. 在实数范围内定义一种新运算“$ * $”,其规则为 $ m * n= m^{2}-n^{2} $,根据这个规则：
(1) 求 $ 3 * 2 $；
(2) 求 $ (y - 2) * 5= 0 $ 中 $ y $ 的值。

答案： 1. （1）
解：根据新运算规则$m*n = m^{2}-n^{2}$，当$m = 3$，$n = 2$时，
$3*2=3^{2}-2^{2}$。
先计算乘方：$3^{2}=9$，$2^{2}=4$。
再计算减法：$3*2=9 - 4=5$。
2. （2）
解：因为$(y - 2)*5 = 0$，根据规则$m*n=m^{2}-n^{2}$，这里$m=y - 2$，$n = 5$，则$(y - 2)^{2}-5^{2}=0$。
由平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，可得$(y - 2 + 5)(y - 2-5)=0$，即$(y + 3)(y-7)=0$。
那么$y + 3 = 0$或$y-7 = 0$。
当$y + 3 = 0$时，解得$y=-3$；当$y - 7 = 0$时，解得$y = 7$。
综上，（1）$3*2$的值为$5$；（2）$y$的值为$-3$或$7$。

2. 根据完全平方公式填空：
(1)$x^{2}+6x + 9 = (x+3)^{2}$；
(2)$x^{2}-8x + 16 = (x-4)^{2}$；
(3)$x^{2}+10x + (5)^{2}= (x+5)^{2}$；
(4)$x^{2}-3x + ($\frac{3}{2}$)^{2}= ($x-\frac{3}{2}$)^{2}$。

答案：
(1)$x+3$
(2)$x-4$
(3)$5$，$x+5$
(4)$\frac{3}{2}$，$x-\frac{3}{2}$

3. 解下列方程：
(1)$(x + 3)^{2}= 25$；
(2)$12(x - 2)^{2}-9 = 0$。

答案：
(1)
$(x + 3)^{2}= 25$
根据平方根的定义，有：
$x + 3 = \pm 5$
分两种情况讨论：
当 $x + 3 = 5$ 时，解得 $x_{1} = 2$；
当 $x + 3 = -5$ 时，解得 $x_{2} = -8$。
(2)
$12(x - 2)^{2}-9 = 0$
移项得：
$12(x - 2)^{2} = 9$
两边同时除以12，得：
$(x - 2)^{2} = \frac{3}{4}$
根据平方根的定义，有：
$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{3}$为3的平方根）
分两种情况讨论：
当 $x - 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，解得 $x_{1} = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$；
当 $x - 2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，解得 $x_{2} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$。

4. 自学教科书第6页至第7页例1前的内容,回答：
(1)移项移的是方程的哪一项？移项要注意什么？
(2)移项后在方程两边同时加的数是几？它和一次项系数有什么关系？
(3)方程两边都加9之后,方程的左边是完全平方的形式吗？此时,你会解这个方程了吗？方程的两根是什么？

答案：
(1)移项移的是方程中的常数项；移项要注意变号。
(2)移项后在方程两边同时加的数是一次项系数一半的平方；它是一次项系数$a$（设一次项为$ax$）一半（$\frac{a}{2}$）的平方（$(\frac{a}{2})^2$）。
(3)方程两边都加9之后，方程的左边是完全平方的形式；
设原方程为$x^{2} + 6x = - 2$（以该方程为例，符合后续计算），
移项加$9$后得$x^{2} + 6x + 9 = 7$，即$(x + 3)^{2} = 7$，
$x + 3=\pm\sqrt{7}$，
解得$x_{1} = - 3 + \sqrt{7}$，$x_{2} = - 3 - \sqrt{7}$。