《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

14. (20 分)将两块大小相同的直角三角尺($ \angle BAC = \angle B'A'C = 30^{\circ} $)按图(1)方式放置,固定三角尺 $ A'B'C $,然后将三角尺 $ ABC $ 绕直角顶点 $ C $ 顺时针方向旋转(旋转角小于 $ 90^{\circ} $)至图(2)所示的位置,$ AB $ 与 $ A'C $ 交与点 $ E $,$ AC $ 与 $ A'B' $ 交与点 $ F $,$ AB $ 与 $ A'B' $ 相交于点 $ O $。
(1)求证：$ \triangle BCE \cong \triangle B'CF $。
(2)当旋转角等于 $ 30^{\circ} $ 时,$ AB $ 与 $ A'B' $ 垂直吗？请说明理由。

答案：
(1)提示:用ASA证明.
(2)解:$AB\perp A'B'$,理由如下:$\because\angle A'CA=30°$,$\angle A'CB'=90°$,$\therefore\angle B'CF=60°$.又$\angle B'=60°$,$\therefore\angle B'FC=60°$.$\therefore\angle A'FA=60°$.又$\angle A=30°$,$\therefore\angle AOF=90°$,即$AB\perp A'B'$.

15. (10 分)阅读理解：
我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点 $ P(x_1,y_1) $,$ Q(x_2,y_2) $ 的对称中心的坐标为 $ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $。
观察应用：
(1)如图,在平面直角坐标系中,已知点 $ P_1(0, -1) $,$ P_2(2,3) $ 的对称中心是点 $ A $,则点 $ A $ 的坐标为(1,1)。

(2)另取两点 $ B(-1.6,2.1) $,$ C(-1,0) $。有一电子青蛙从点 $ P_1 $ 处开始依次关于点 $ A $,$ B $,$ C $ 作循环对称跳动,即第 1 次跳到点 $ P_1 $ 关于点 $ A $ 的对称点 $ P_2 $ 处,第 2 次跳到点 $ P_2 $ 关于点 $ B $ 的对称点 $ P_3 $ 处,第 3 次跳到点 $ P_3 $ 关于点 $ C $ 的对称点 $ P_4 $ 处,第 4 次跳到点 $ P_4 $ 关于点 $ A $ 的对称点 $ P_5 $ 处……则点 $ P_3 $ 的坐标为(-5.2,1.2),点 $ P_8 $ 的坐标为(2,3),点 $ P_{2020} $ 的坐标为(3.2,-1.2)。

答案：
(1)$(1,1)$;
(2)$(-5.2,1.2)$ $(2,3)$ $(3.2,-1.2)$.

16. (10 分)如图,已知正方形 $ ABCD $ 的边长为 3,点 $ E $,$ F $ 分别是 $ AB $,$ BC $ 边上的点,且 $ \angle EDF = 45^{\circ} $,将 $ \triangle DAE $ 绕点 $ D $ 按逆时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle DCM $。
(1)求证：$ EF = MF $。
(2)当 $ AE = 1 $ 时,求 $ EF $ 的长度。

答案：
(1)证明:$\because$将$\triangle DAE$绕点$D$逆时针旋转$90°$得到$\triangle DCM$,$\therefore DE=DM$,$\angle EDM=90°$.$\because\angle EDF=45°$,$\therefore\angle MDF=45°$.$\therefore\angle EDF=\angle MDF$.在$\triangle DEF$和$\triangle DMF$中,$\begin{cases}DF=DF,\\\angle EDF=\angle MDF,\\DE=DM,\end{cases}$$\therefore\triangle DEF\cong\triangle DMF(SAS)$.$\therefore EF=MF$.
(2)解:$EF$的长为$\dfrac{5}{2}$.