《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 6 某地规划对一片面积为 $ a $ 的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为 $ x(0 ＜ x ＜ 1) $. 当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了 10 年时间.
(1) 求 $ x $ 的值.
(2) 若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $，按照规划至少还需多少年，才能使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的 $ \frac{1}{4} $?

答案：
(1)
由题意得$a(1 - x)^{10}=\frac{1}{2}a$，
因为$a\gt0$，两边同时除以$a$得$(1 - x)^{10}=\frac{1}{2}$，
则$1 - x = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}$，
解得$x = 1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}$。
(2)
设还需$n$年，由题意得$\frac{\sqrt{2}}{2}a(1 - x)^n\leq\frac{1}{4}a$，
因为$a\gt0$，两边同时除以$a$得$\frac{\sqrt{2}}{2}(1 - x)^n\leq\frac{1}{4}$，
将$x = 1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}$代入得$\frac{\sqrt{2}}{2}[(\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}]^n\leq\frac{1}{4}$，
即$(\frac{1}{2})^{\frac{n}{10}}\leq\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=(\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$，
因为指数函数$y = (\frac{1}{2})^t$在$R$上单调递减，
所以$\frac{n}{10}\geq\frac{3}{2}$，
解得$n\geq15$。
故答案为：
(1)$x = 1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}$；
(2)15年。