《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

知识点:4直线与抛物线相交问题的重要结论
设AB为抛物线y²=2px(p＞0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦
AB的中点为M(co,yo).
签学以致用
(全国II卷)若抛物线
y²=2px(p＞0)的焦点
是椭圆$\frac{x²}{3p}$+P²=1的一
个焦点,则p=(D)
A.2 B.3C.4D.8
答案:D
学以致用
(北京卷)已知抛物线
y²=4x的焦点为F,点
M在抛物线上,MN垂直
x轴于点N,若|MF|=
6,则点M的横坐标为
5;△MNF的面
积为4$\sqrt{5}$
答案:5 4$\sqrt{5}$
袅学以致用
(多选)已知点O为坐标
原点,直线y=x−1与
抛物线C:y²=4x相交
于A,B两点,则(ACD)
A.|AB|=8
B.OA⊥OB
C.△AOB的面积为2$\sqrt{2}$
D.线段AB的中点到抛
物线准线的距离为4
答案:ACD
拓展延伸
过抛物线y²=2px(p＞
0)上一点P(x1,纯)的
切线方程的推导
提示:扫码得答案,
学以致用
抛物线r:x²=2py(p＞
0)的焦点为F,过点F
的直线交T于A,B两
点,T在A,B两点处的
切线交于点M(1,
−$\frac{1}{2}$),则弦AB的长为
4
答案;4
拓展延伸
焦点弦相关性质的证明
提示:扫码得答案,
m)温馨提示
①有关直线与抛物线的
弦长问题，要注意直线
是否过抛物线的焦点，
若过抛物线的焦点，可
直接使用公式|AB|=
x1+x2+p,若不过焦
点，则用一般弦长公式.
②四种标准方程下的焦
点弦长公式;
标准方程 弦长|AB|
y²=2px x1+
(p＞0) x2+p
y²=−2px −(x1+
(p＞0) x2)+p
x²=2py y+
(p＞0) y2+p
x²=−2py| −(y+
(p＞0) y2)+p
(1)弦长公式:|AB∣=√匚+{x1−22|=√1+$\frac{1}{k2}$|−2l.(k
为直线AB的斜率,且k≠0)
(2)k=yo;直线AB的方程为y−yo=yo(x−xφ).

答案： 全国II卷题
解答：
1. 抛物线$y^2=2px$的焦点为$(\frac{p}{2},0)$。
2. 椭圆$\frac{x^2}{3p}+\frac{y^2}{p}=1$中，$a^2=3p$，$b^2=p$，则$c^2=a^2-b^2=2p$，焦点为$(\pm\sqrt{2p},0)$。
3. 由题意$\frac{p}{2}=\sqrt{2p}$，平方得$\frac{p^2}{4}=2p$，解得$p=8$（$p＞0$）。
答案：D
北京卷题
解答：
1. 抛物线$y^2=4x$中$p=2$，焦点$F(1,0)$，准线$x=-1$。
2. 由抛物线定义$|MF|=x_M+1=6$，得$x_M=5$。
3. 点$M(5,y)$代入抛物线方程，$y^2=20$即$y=\pm2\sqrt{5}$，$MN=2\sqrt{5}$。
4. $N(5,0)$，$FN=5-1=4$，$\triangle MNF$面积$=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
答案：5；$4\sqrt{5}$
多选题
解答：
联立$y=x-1$与$y^2=4x$，得$x^2-6x+1=0$，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=1$。
A：直线过焦点$(1,0)$，$|AB|=x_1+x_2+p=6+2=8$，正确。
B：$OA· OB=x_1x_2+y_1y_2=1+(-4)=-3\neq0$，错误。
C：原点到直线距离$d=\frac{1}{\sqrt{2}}$，面积$=\frac{1}{2}×8×\frac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，正确。
D：中点横坐标$\frac{x_1+x_2}{2}=3$，到准线距离$3-(-1)=4$，正确。
答案：ACD
抛物线弦长题
解答：
1. 抛物线$x^2=2py$焦点$F(0,\frac{p}{2})$，切线方程$y=\frac{x_0}{p}x-\frac{x_0^2}{2p}$。
2. 切线交于$M(1,-\frac{1}{2})$，得$x_1,x_2$是方程$t^2-2t-p=0$的根，$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-p$。
3. 由韦达定理及直线斜率关系解得$p=1$。
4. $|AB|=y_1+y_2+p=\frac{x_1^2+x_2^2}{2p}+p=3+1=4$。
答案：4