《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题 3 利用基本不等式解决实际问题
例 8 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的等腰梯形菜园ABCD，BC// AD，BC = x m，AB = CD = y m，$\angle BAD=\angle CDA = 60^{\circ}。$

1. 若篱笆的长度为12 m，菜园的面积为$12\sqrt{3}\ m^{2}，$求x，y的值；
2. 若菜园的面积为$\frac{27\sqrt{3}}{4}\ m^{2}，$求篱笆的长度的最小值。
1. x的值为4，y的值为4；2. 篱笆的长度的最小值为9 m。

答案： 1.
(1)
过点$B$作$BE\perp AD$于点$E$，过点$C$作$CF\perp AD$于点$F$。
在$Rt\triangle AEB$中，$\angle AEB = 90^{\circ}$，$\angle BAE = 60^{\circ}$，$AB = y\ m$，
则$AE=\frac{1}{2}y\ m$，$BE=\frac{\sqrt{3}}{2}y\ m$。
同理，$DF=\frac{1}{2}y\ m$，$CF=\frac{\sqrt{3}}{2}y\ m$。
因为$BC = x\ m$，所以$EF = x\ m$。
由题意得$\begin{cases}x + 2y = 12\frac{1}{2}(x + x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y)·\frac{\sqrt{3}}{2}y = 12\sqrt{3}\end{cases}$，
即$\begin{cases}x + 2y = 12\\(2x + y)y = 48\end{cases}$，
把$x = 12 - 2y$代入$(2x + y)y = 48$得：
$(2(12 - 2y)+y)y = 48$，
$(24 - 4y + y)y = 48$，
$(24 - 3y)y = 48$，
$24y-3y^{2}=48$，
$y^{2}-8y + 16 = 0$，
$(y - 4)^{2}=0$，
解得$y = 4$，则$x = 12-2×4 = 4$。
所以$x$的值为$4$，$y$的值为$4$。
(2)
$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(x + x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y)·\frac{\sqrt{3}}{2}y=\frac{27\sqrt{3}}{4}$，
即$(2x + y)y = 27$，
所以$x=\frac{27}{2y}-\frac{y}{2}$。
则$x + 2y=\frac{27}{2y}+\frac{3y}{2}\geqslant2\sqrt{\frac{27}{2y}·\frac{3y}{2}}=9$。
当且仅当$\frac{27}{2y}=\frac{3y}{2}$，即$y = 3$，$x = 3$时，等号成立。
此时篱笆的长度的最小值为$9\ m$。
故答案依次为：
(1)$x = 4$，$y = 4$；
(2)$9\ m$。

母题 4 与基本不等式有关的恒成立问题
例 9 当$0\lt x\lt\frac{1}{4}$时，不等式$\frac{1}{x}+\frac{1}{1 - 4x}-m\geqslant 0$恒成立，求实数$m$的最大值。

答案： $9$