《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 3 已知角α的终边在直线 5x - 12y = 0 上，求 sinα，cosα，tanα的值。
解：在角α的终边上任取一点 P(12a,5a)(a≠0)，则 $r=\sqrt {(12a)^{2}+(5a)^{2}}=13|a|$。
当 a＞0 时，r = 13a，$\sin \alpha =\frac {5a}{13a}=\frac {5}{13}$，$\cos \alpha =\frac {12a}{13a}=\frac {12}{13}$，$\tan \alpha =\frac {5a}{12a}=\frac {5}{12}$；
当 a＜0 时，r = -13a，$\sin \alpha =\frac {5a}{-13a}=-\frac {5}{13}$，$\cos \alpha =\frac {12a}{-13a}=-\frac {12}{13}$，$\tan \alpha =\frac {5a}{12a}=\frac {5}{12}$。
易错点拨 角的终边是射线，所以角的终边落在直线上有两种情况，解答时应对这两种情况进行分类讨论。

答案： 答题卡：
解：
在角$\alpha$的终边上任取一点$P(12a,5a)(a \neq 0)$，
则$r = \sqrt{(12a)^{2} + (5a)^{2}} = 13|a|$，
当$a ＞ 0$时，
$r = 13a$，
根据三角函数定义：
$\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{5a}{13a} = \frac{5}{13}$，
$\cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{12a}{13a} = \frac{12}{13}$，
$\tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{5a}{12a} = \frac{5}{12}$，
当$a ＜ 0$时，
$r = - 13a$，
根据三角函数定义：
$\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{5a}{- 13a} = - \frac{5}{13}$，
$\cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{12a}{- 13a} = - \frac{12}{13}$，
$\tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{5a}{12a} = \frac{5}{12}$，
综上，当$a ＞ 0$时，$\sin\alpha = \frac{5}{13}$，$\cos\alpha = \frac{12}{13}$，$\tan\alpha = \frac{5}{12}$；当$a ＜ 0$时，$\sin\alpha = - \frac{5}{13}$，$\cos\alpha = - \frac{12}{13}$，$\tan\alpha = \frac{5}{12}$。

母题 2 三角函数值的符号判断 5年1考
例 4 (1)(全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则 (D)
A. $\cos 2\alpha ＞0$
B. $\cos 2\alpha ＜0$
C. $\sin 2\alpha ＞0$
D. $\sin 2\alpha ＜0$
(2)确定下列各式的符号：
①$\cos 2-\sin 2$；
②$\sin 3\cos 4\tan 5$。

答案：
(1)
∵α为第四象限角，
∴$2k\pi +\frac{3}{2}\pi ＜ \alpha ＜ 2k\pi + 2\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，
∴$4k\pi + 3\pi ＜ 2\alpha ＜ 4k\pi + 4\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，
∴$2\alpha$的终边在第三、四象限或$y$轴非正半轴，$\sin 2\alpha ＜ 0$。
故选 D。
(2)①
∵$\frac{\pi}{2} ＜ 2 ＜ \pi$，
∴2 是第二象限角，
∴$\cos 2 ＜ 0$，$\sin 2 ＞ 0$，
∴$\cos 2 - \sin 2 ＜ 0$。
②
∵$\frac{\pi}{2} ＜ 3 ＜ \pi$，$\pi ＜ 4 ＜ \frac{3\pi}{2}$，$\frac{3\pi}{2} ＜ 5 ＜ 2\pi$，
∴$\sin 3 ＞ 0$，$\cos 4 ＜ 0$，$\tan 5 ＜ 0$，
∴$\sin 3\cos 4\tan 5 = (+) × (-) × (-) = + ＞ 0$。