《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例 5 (1)若 $x＞1,4x^{2}-(3a + 2)x + 3a + 7\geq0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为$\{a\mid a\leq6\}$。
(2)已知关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}+(a - 2)x - 2＞0$。若该不等式对于 $1\leq a\leq3$ 恒成立，则实数 $x$ 的取值范围为$\{x\mid x\lt - 1$或$x\gt2\}$。

答案：
(1)$\{a\mid a\leq6\}$
(2)$\{x\mid x\lt - 1$或$x\gt2\}$

例 6 解下列不等式：
(1)$\frac{2x - 1}{x + 2}＜0$；
(2)$\frac{3x + 1}{3 - x}\geq-1$。

答案：
(1) 原不等式 $\frac{2x - 1}{x + 2} ＜ 0$ 可化为 $(2x - 1)(x + 2) ＜ 0$，
解得 $-2 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$，
所以原不等式的解集为 $\{ x \mid -2 ＜ x ＜ \frac{1}{2} \}$。
(2) 原不等式 $\frac{3x + 1}{3 - x} \geq -1$，
移项得 $\frac{3x + 1}{3 - x} + 1 \geq 0$，
化简得 $\frac{2x + 4}{3 - x} \geq 0$，即 $\frac{2x + 4}{x - 3} \leq 0$，
可化为 $\begin{cases}(2x + 4)(x - 3) \leq 0, \\x - 3 \neq 0.\end{cases}$
解得 $-2 \leq x ＜ 3$，
所以原不等式的解集为 $\{ x \mid -2 \leq x ＜ 3 \}$。