《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

例13如图，为绘制海底地貌图,测
量海底两点C,D间的距离，海底探
测仪沿水平方向在A,B两点进行
测量，点A,B,C,D在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得∠BAC=30°,∠DAC=45°,
∠ABD=45°,∠DBC=75°,同时测得AB=
$\sqrt{3}$海里.

(1)求AD的长度;
(2)求C,D两点间的距离.

答案：
(1)
在$\triangle ABD$中，$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle DAC = 45^{\circ}$，所以$\angle BAD=75^{\circ}$。
$\angle ABD = 45^{\circ}$，则$\angle ADB = 60^{\circ}$。
由正弦定理$\frac{AB}{\sin\angle ADB}=\frac{AD}{\sin\angle ABD}$，已知$AB = \sqrt{3}$，$\sin\angle ADB=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\angle ABD=\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
所以$AD=\frac{AB\sin\angle ABD}{\sin\angle ADB}=\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{2}$（海里）。
(2)
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 45^{\circ}+75^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，所以$\angle BCA = 30^{\circ}$，则$BC = AB=\sqrt{3}$（海里）。
由余弦定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB· BC·\cos\angle ABC}$
$=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×(-\frac{1}{2})}=3$（海里）。
在$\triangle ACD$中，由余弦定理$CD=\sqrt{AC^{2}+AD^{2}-2AC· AD·\cos\angle CAD}$
$=\sqrt{3^{2}+(\sqrt{2})^{2}-2×3×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{5}$（海里）。
综上，
(1) $AD$的长度为$\sqrt{2}$海里；
(2) $C$，$D$两点间的距离为$\sqrt{5}$海里。

塔例1如4 离与为测的量高出,选对铁鳜
同在水平面内的两个测点C与D.名师讲题
在点C测得塔底B在北偏东45°方向，然后
向正东方向前进20米到达点D,测得此时塔
底B在北偏东15°方向.

(1)求点D到塔底B的距离BD;
(2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°,求铁塔高AB.

答案： （1）由题意，CD=20米，∠BCD=45°，∠BDC=105°，则∠CBD=180°-45°-105°=30°。
在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{BD}{\sin\angle BCD}=\frac{CD}{\sin\angle CBD}$，
即$\frac{BD}{\sin45°}=\frac{20}{\sin30°}$，
解得$BD=\frac{20\sin45°}{\sin30°}=\frac{20×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=20\sqrt{2}$（米）。
（2）在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{BC}{\sin\angle BDC}=\frac{BD}{\sin\angle BCD}$，
则$BC=\frac{BD·\sin\angle BDC}{\sin\angle BCD}=\frac{20\sqrt{2}·\sin105°}{\sin45°}$。
因为$\sin105°=\sin(60°+45°)=\sin60°\cos45°+\cos60°\sin45°=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$BC=\frac{20\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10(\sqrt{6}+\sqrt{2})$（米）。
在Rt△ABC中，$AB=BC·\tan30°=10(\sqrt{6}+\sqrt{2})×\frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{2}+\frac{10\sqrt{6}}{3}$（米）。
（1）$BD=20\sqrt{2}$米；（2）$AB=10\sqrt{2}+\frac{10\sqrt{6}}{3}$米。