《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题5 概率与统计的综合应用
例 5 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情。某校为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为 100 的样本，其中男生 40 名，女生 60 名。经调查统计，分别得到 40 名男生一周课外阅读时间（单位：时）的频数分布表和 60 名女生一周课外阅读时间（单位：时）的频率分布直方图。

(1) 由频率分布直方图估计该校女生一周课外阅读时间的第 75 百分位数；
(2) 从一周课外阅读时间为 [4, 6) 的样本学生中按比例分配抽取 7 人，再从这 7 人中任意抽取 2 人，求恰好抽到一男一女的概率。

答案：
(1) 设女生一周课外阅读时间的第75百分位数为$a$，
根据频率分布直方图，
前三个矩形的面积和为$\frac{1}{24}+\frac{1}{24}+\frac{1}{4} +\frac{1}{4} = \frac{1}{12}+\frac{1}{2} =\frac{7}{12}$（前两个矩形面积是$\frac{1}{24}×2=\frac{1}{12}$，第三个矩形面积是$\frac{1}{4}$，前三个矩形面积和需达到$0.75$，这里先算到第三个矩形结束的面积），
而到第四个矩形内达到$0.75$，
由$\frac{1}{24}×2+\frac{1}{4}×2+\frac{1}{8}(a - 4)=\frac{3}{4}$，
即$\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}(a - 4)=\frac{3}{4}$，
$\frac{1}{12}+\frac{3}{12}+\frac{1}{8}(a - 4)=\frac{3}{4}$，
$\frac{4}{12}+\frac{1}{8}(a - 4)=\frac{3}{4}$，
$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}(a - 4)=\frac{3}{4}$，
$\frac{1}{8}(a - 4)=\frac{3}{4}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{8}(a - 4)=\frac{9}{12}-\frac{4}{12}$，
$\frac{1}{8}(a - 4)=\frac{5}{12}$，
$a - 4=\frac{10}{3}$，
解得$a=\frac{16}{3}\approx5.3$。
(2) 一周课外阅读时间为$4,6)$的样本学生中，
男生人数为$6$，
女生人数为$\frac{1}{8}×2×60 = 15$，
从$21$人中按比例抽取$7$人，
则男生抽取$\frac{6}{21}×7 = 2$人，记为$a_1,a_2$，
女生抽取$\frac{15}{21}×7 = 5$人，记为$b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$。
样本空间$\Omega=\{a_1a_2,a_1b_1,a_1b_2,a_1b_3,a_1b_4,a_1b_5,a_2b_1,a_2b_2,a_2b_3,a_2b_4,a_2b_5,b_1b_2,b_1b_3,b_1b_4,b_1b_5,b_2b_3,b_2b_4,b_2b_5,b_3b_4,b_3b_5,b_4b_5\}$，共$21$个样本点。
记事件$A =$“恰好抽到一男一女”，
则$A = \{a_1b_1,a_1b_2,a_1b_3,a_1b_4,a_1b_5,a_2b_1,a_2b_2,a_2b_3,a_2b_4,a_2b_5\}$，共$10$个样本点。
所求概率$P(A)=\frac{10}{21}$。