《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

(全国Ⅰ卷)已知集合 $A=\{x|x^{2}-3x - 4＜0\},B=\{-4,1,3,5\}$，则 $A\cap B=$ (D)

A.$\{-4,1\}$
B.$\{1,5\}$
C.$\{3,5\}$
D.$\{1,3\}$

答案： D

例 1 解下列不等式：
(1)$2x^{2}-3x - 2＞0$；
(2)$x^{2}-3x + 5＞0$；
(3)$-6x^{2}-x + 2\geq0$；
(4)$-4x^{2}＞1 - 4x$。

答案：
(1)
解方程$2x^{2}-3x - 2 = 0$，因式分解得$(2x + 1)(x - 2)=0$，解得$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=2$。
二次函数$y = 2x^{2}-3x - 2$，二次项系数$2\gt0$，图象开口向上，所以原不等式的解集为$\{x|x\lt - \frac{1}{2}或x\gt 2\}$。
(2)
对于方程$x^{2}-3x + 5 = 0$，$\Delta=(-3)^{2}-4×5=9 - 20=-11\lt0$，方程无解。
二次函数$y = x^{2}-3x + 5$，二次项系数$1\gt0$，图象开口向上，所以原不等式的解集为$\mathbf{R}$。
(3)
原不等式$-6x^{2}-x + 2\geq0$可化为$6x^{2}+x - 2\leq0$。
解方程$6x^{2}+x - 2 = 0$，因式分解得$(3x + 2)(2x - 1)=0$，解得$x_{1}=-\frac{2}{3},x_{2}=\frac{1}{2}$。
二次函数$y = 6x^{2}+x - 2$，二次项系数$6\gt0$，图象开口向上，所以原不等式的解集为$\{x|-\frac{2}{3}\leq x\leq\frac{1}{2}\}$。
(4)
原不等式$-4x^{2}\gt1 - 4x$可化为$4x^{2}-4x + 1\lt0$。
解方程$4x^{2}-4x + 1 = 0$，完全平方得$(2x - 1)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。
二次函数$y = 4x^{2}-4x + 1$，二次项系数$4\gt0$，图象开口向上，所以原不等式的解集为$\varnothing$。

例 2 设 $a\in\mathbf{R}$，解关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}-(a + 3)x + 3\leq0$。

答案： 解：$ax^2 - (a + 3)x + 3 \leq 0 \Leftrightarrow (ax - 3)(x - 1) \leq 0$。
(1)当$a = 0$时，原不等式化为$-3x + 3 \leq 0 \Rightarrow x \geq 1$。解集为$\{x|x \geq 1\}$。
(2)当$a \neq 0$时，方程$(ax - 3)(x - 1) = 0$的根为$x_1 = \frac{3}{a}, x_2 = 1$。
①当$a ＜ 0$时，$\frac{3}{a} ＜ 1$，解集为$\{x|x \leq \frac{3}{a}$或$x \geq 1\}$。
②当$0 ＜ a ＜ 3$时，$\frac{3}{a} ＞ 1$，解集为$\{x|1 \leq x \leq \frac{3}{a}\}$。
③当$a = 3$时，原不等式化为$3(x - 1)^2 \leq 0 \Rightarrow x = 1$。解集为$\{1\}$。
④当$a ＞ 3$时，$\frac{3}{a} ＜ 1$，解集为$\{x|\frac{3}{a} \leq x \leq 1\}$。
综上所述：
当$a ＜ 0$时，解集为$\{x|x \leq \frac{3}{a}$或$x \geq 1\}$；
当$a = 0$时，解集为$\{x|x \geq 1\}$；
当$0 ＜ a ＜ 3$时，解集为$\{x|1 \leq x \leq \frac{3}{a}\}$；
当$a = 3$时，解集为$\{1\}$；
当$a ＞ 3$时，解集为$\{x|\frac{3}{a} \leq x \leq 1\}$。