《2025年一本知识大盘点高中数学全一册人教版》

母题5 圆与圆的位置关系
例10 已知圆 $ x^{2} + y^{2} = 4 $ 与圆 $ x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + m + 6 = 0 $ 外切，则 $ m $ 的值为(A)

A.10
B.8
C.9
D.7

答案： A

例11 已知圆 $ C_{1}:(x + 1)^{2} + y^{2} = r^{2} $ 过圆 $ C_{2}:(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 4 $ 的圆心，则两圆公共弦所在直线的方程为5x + y - 19 = 0。

答案： 1. 圆$C_{2}:(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$的圆心坐标为$(4,1)$。
2. 因为圆$C_{1}$过圆$C_{2}$的圆心，所以$(4 + 1)^{2} + 1^{2} = r^{2}$，解得$r^{2}=26$，故圆$C_{1}:(x + 1)^{2} + y^{2}=26$。
3. 将两圆方程相减：$(x + 1)^{2} + y^{2}-[(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2}]=26 - 4$，展开化简得$5x + y - 19 = 0$。
$5x + y - 19 = 0$

例12 (1) 圆 $ O_{1}:x^{2} + y^{2} - 4y - 6 = 0 $ 与圆 $ O_{2}:x^{2} + y^{2} - 6x + 8y = 0 $ 的公共弦长为(C)
A. $ \sqrt{5} $
B. $ \sqrt{10} $
C. $ 2\sqrt{5} $
D. $ 3\sqrt{5} $
(2) 若圆 $ C_{1}:x^{2} + y^{2} = 1 $ 与圆 $ C_{2}:(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 1 $ 的公共弦 $ AB $ 的长为 1，则直线 $ AB $ 的方程为(D)
A. $ 2ax + by - 1 = 0 $
B. $ 2ax + by - 3 = 0 $
C. $ 2ax + 2by - 1 = 0 $
D. $ 2ax + 2by - 3 = 0 $

答案：
(1)
两圆方程相减：$ x^{2} + y^{2} - 4y - 6 - (x^{2} + y^{2} - 6x + 8y) = 0 $，
化简得公共弦所在直线方程：$ x - 2y - 1 = 0 $，
圆$ O_1 $方程化为标准形式：$ x^{2} + (y - 2)^{2} = 10 $，
圆心$ O_1(0, 2) $，半径$ r = \sqrt{10} $，
圆心到公共弦的距离：
$d_1 = \frac{|0 - 4 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$，
公共弦长度：
$2\sqrt{r^2 - d_1^2} = 2\sqrt{10 - 5} = 2\sqrt{5}$。
答案：C。
(2)
两圆方程相减：$ x^{2} + y^{2} - [(x - a)^{2} + (y - b)^{2}] = 0 $，
化简得公共弦所在直线方程：$2ax + 2by - a^{2} - b^{2} = 0$，
圆$ C_1 $的圆心$ (0, 0) $，半径为$ 1 $，
公共弦$ AB $长度为$ 1 $，
圆心到直线距离：
$d = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
代入距离公式：
$\frac{|a^2 + b^2|}{\sqrt{(2a)^2 + (2b)^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
化简得：$a^2 + b^2 = 3$，
直线$ AB $方程：$2ax + 2by - 3 = 0$。
答案：D。